Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 9 + 6 × 2 = 9 + 12 = 21
B = (9 + 6) × 2 = 15 × 2 = 30
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9 − 4 × 2 est une différence : c'est la différence entre 9 et le produit de 4 par 2.
D = 6 × (9 − 4) est un produit : c'est le produit de 6 par la différence entre 9 et 4.
E = 9² + 1² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 74 = 592 ≤ 593 < 600 = 8 × 75 : le quotient est 74, le reste 593 − 592 = 1.
593 = 8 × 74 + 1, avec 1 < 8.
12 × 160 = 1 920 ≤ 1 926 < 1 932 = 12 × 161 : le quotient est 160, le reste 1 926 − 1 920 = 6.
1 926 = 12 × 160 + 6, avec 6 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 479 = 13 × 37 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 479 = 13 × 35 + 24 : le « reste » 24 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 479 = 13 × 36 + 11 : le reste 11 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 36, reste 11.
Comme 11 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 479 par 36 : quotient 13, reste 11.
3. 32 = 7 × 4 + 4, avec 4 < 7
a) Chaque joueur reçoit 4 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 951 | non | oui | non | non | non |
| 9 510 | oui | oui | oui | non | oui |
| 815 | non | non | oui | non | non |
| 2 403 | non | oui | non | oui | non |
| 3 586 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
951 → 9 + 5 + 1 = 15 9 510 → 9 + 5 + 1 + 0 = 15 815 → 8 + 1 + 5 = 14
2 403 → 2 + 4 + 0 + 3 = 9 3 586 → 3 + 5 + 8 + 6 = 22
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 4 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 345.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 954, somme des chiffres 18.
« 3 est un diviseur de 45. » Vrai. 45 = 3 × 15 : le reste de la division de 45 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 53 − 7 + 9 = 46 + 9 = 55
B = 3 + 48 ÷ 6 × 2 = 3 + 8 × 2 = 3 + 16 = 19
C = (9 + 6) × 5 − 2 = 15 × 5 − 2 = 75 − 2 = 73
D = 5 × [22 − (4 + 9)] = 5 × [22 − 13] = 5 × 9 = 45
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + (8 + 7) × 2 = 9 + 15 × 2 = 9 + 30 = 39
3 × (2 × 5 − 6) = 3 × (10 − 6) = 3 × 4 = 12
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 × 101 = 45 × (100 + 1) = 45 × 100 + 45 × 1 = 4 500 + 45 = 4 545
F = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 26 + 5,05 + 74 = 26 + 74 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 5 × 5 × 5 = 5³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
60 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 60 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 8 = 5 × 36 − 8 = 180 − 8 = 172
B = (5 × 6)² − 8 = 30² − 8 = 900 − 8 = 892
C = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
D = (2 + 3)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 2 = 5 × 3² − 2 = 5 × 9 − 2 = 45 − 2 = 43
B = (5a)² − 2 = (5 × 3)² − 2 = 15² − 2 = 225 − 2 = 223
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 94 :
9² = 81 ≤ 94 et 10² = 100 > 94.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
94 − 81 = 13
b) Il lui restera 13 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 15 et 71. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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