Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (15 + 9) × 7 = 24 × 7 = 168
B = 15 + 9 × 7 = 15 + 63 = 78
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
D = 5² − 7 est une différence : c'est la différence entre le carré de 5 et 7.
E = 3 + 54 ÷ 9 est une somme : c'est la somme de 3 et du quotient de 54 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 163 = 489 ≤ 491 < 492 = 3 × 164 : le quotient est 163, le reste 491 − 489 = 2.
491 = 3 × 163 + 2, avec 2 < 3.
17 × 117 = 1 989 ≤ 1 994 < 2 006 = 17 × 118 : le quotient est 117, le reste 1 994 − 1 989 = 5.
1 994 = 17 × 117 + 5, avec 5 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 88 = 9 × 8 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 88 = 9 × 9 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 88 = 9 × 10 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 9, reste 7.
Comme 7 < 9 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 88 par 9 : quotient 9, reste 7.
3. 57 = 9 × 6 + 3
6 minibus pleins transportent 54 élèves ; il en reste 3 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 3 = 6 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 365 | non | non | oui | non | non |
| 7 360 | oui | non | oui | non | oui |
| 5 967 | non | oui | non | oui | non |
| 987 | non | oui | non | non | non |
| 7 352 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
365 → 3 + 6 + 5 = 14 7 360 → 7 + 3 + 6 + 0 = 16 5 967 → 5 + 9 + 6 + 7 = 27
987 → 9 + 8 + 7 = 24 7 352 → 7 + 3 + 5 + 2 = 17
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 1 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 810.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 188 est un multiple de 7. » Faux. 188 = 7 × 26 + 6 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 10 + 4 × 8 = 10 + 32 = 42
B = 25 ÷ 5 × 3 = 5 × 3 = 15
C = (3 + 8) × 4 − 19 = 11 × 4 − 19 = 44 − 19 = 25
D = [8 + 6 × (7 − 2)] ÷ 2 = [8 + 6 × 5] ÷ 2 = [8 + 30] ÷ 2 = 38 ÷ 2 = 19
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (3 × 2 − 5) = 6 × (6 − 5) = 6 × 1 = 6
5 − (2 + 9 − 7) = 5 − (11 − 7) = 5 − 4 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 17 × 11 = 17 × (10 + 1) = 17 × 10 + 17 × 1 = 170 + 17 = 187
F = 77 + 7,8 + 23 = 77 + 23 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 45 × 21 + 45 × 79 = 45 × (21 + 79) = 45 × 100 = 4 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 4 × 4 × 4 = 4³ 8 × 8 = 8²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 26 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 26 < 36 = 6²)
35 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 35 < 36 = 6²) 125 = 5³ : cube
126 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 126 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 3 = 3 × 9 − 3 = 27 − 3 = 24
B = (3 × 3)² − 3 = 9² − 3 = 81 − 3 = 78
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 9 = 5 × 2² − 9 = 5 × 4 − 9 = 20 − 9 = 11
B = (5a)² − 9 = (5 × 2)² − 9 = 10² − 9 = 100 − 9 = 91
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36 : 6 × 6 = 36, c'est-à-dire 6² = 36.
a) Le côté mesure 6 m.
4 × 6 = 24
b) Le périmètre est de 24 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 252 et 308. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
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