Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 36 + 36 ÷ 4 = 36 + 9 = 45
B = (36 + 36) ÷ 4 = 72 ÷ 4 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6 + 5 × 8 est une somme : c'est la somme de 6 et du produit de 5 par 8.
D = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
E = (3 + 7) × 4 est un produit : c'est le produit de la somme de 3 et 7 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 75 = 300 ≤ 301 < 304 = 4 × 76 : le quotient est 75, le reste 301 − 300 = 1.
301 = 4 × 75 + 1, avec 1 < 4.
14 × 129 = 1 806 ≤ 1 817 < 1 820 = 14 × 130 : le quotient est 129, le reste 1 817 − 1 806 = 11.
1 817 = 14 × 129 + 11, avec 11 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 76 = 7 × 9 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 76 = 7 × 11 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 76 = 7 × 10 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 7. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 10, reste 6.
Comme 6 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 76 par 10 : quotient 7, reste 6.
3. 93 = 16 × 5 + 13
5 minibus pleins transportent 80 élèves ; il en reste 13 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 13 = 3 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 955 | non | non | oui | non | non |
| 8 198 | oui | non | non | non | non |
| 4 510 | oui | non | oui | non | oui |
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 3 807 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
955 → 9 + 5 + 5 = 19 8 198 → 8 + 1 + 9 + 8 = 26 4 510 → 4 + 5 + 1 + 0 = 10
867 → 8 + 6 + 7 = 21 3 807 → 3 + 8 + 0 + 7 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 7 + □ = 15 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 15
Une seule solution : 870.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 10 est pair mais 10 = 3 × 3 + 1.
« 7 est un diviseur de 91. » Vrai. 91 = 7 × 13 : le reste de la division de 91 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 40 − 8 + 11 = 32 + 11 = 43
B = 56 ÷ 7 × 2 = 8 × 2 = 16
C = 71 − 5 × (14 − 9) = 71 − 5 × 5 = 71 − 25 = 46
D = 2,1 + 4 × 0,5 = 2,1 + 2 = 4,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (6 × 6 − 9) = 5 × (36 − 9) = 5 × 27 = 135
(2 + 8 + 2) × 9 = (10 + 2) × 9 = 12 × 9 = 108
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 24 × 84 + 24 × 16 = 24 × (84 + 16) = 24 × 100 = 2 400
F = 16 × 11 = 16 × (10 + 1) = 16 × 10 + 16 × 1 = 160 + 16 = 176
G = 32 + 7,8 + 68 = 32 + 68 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 0,4 × 0,4 = 0,4² 5 × 5 × 5 = 5³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« (4 + 3)² = 4² + 3² » Faux. (4 + 3)² = 7² = 49, alors que 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
24 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 24 < 25 = 5²) 25 = 5² : carré
27 = 3³ : cube 88 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 88 < 100 = 10²)
105 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 105 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 6 = 2 × 16 − 6 = 32 − 6 = 26
B = (2 × 4)² − 6 = 8² − 6 = 64 − 6 = 58
C = 1² + 5² = 1 + 25 = 26
D = (1 + 5)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 5 : x² + 7x = 5² + 7 × 5 = 25 + 7 × 5 = 25 + 35 = 60
Pour x = 0,5 : x² + 7x = 0,5² + 7 × 0,5 = 0,25 + 7 × 0,5 = 0,25 + 3,5 = 3,75
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 81 : 9 × 9 = 81, c'est-à-dire 9² = 81.
a) Le côté mesure 9 m.
4 × 9 = 36
b) Le périmètre est de 36 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 112 et 161. » → encore 48 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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