Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (30 − 6) × 4 = 24 × 4 = 96
B = 30 − 6 × 4 = 30 − 24 = 6
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
D = 8 + 45 ÷ 5 est une somme : c'est la somme de 8 et du quotient de 45 par 5.
E = 23 − 4 × 2 est une différence : c'est la différence entre 23 et le produit de 4 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 78 = 312 ≤ 314 < 316 = 4 × 79 : le quotient est 78, le reste 314 − 312 = 2.
314 = 4 × 78 + 2, avec 2 < 4.
15 × 87 = 1 305 ≤ 1 315 < 1 320 = 15 × 88 : le quotient est 87, le reste 1 315 − 1 305 = 10.
1 315 = 15 × 87 + 10, avec 10 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 269 = 7 × 37 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 269 = 7 × 39 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 269 = 7 × 38 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 7. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 38, reste 3.
Comme 3 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 269 par 38 : quotient 7, reste 3.
3. 115 = 7 × 16 + 3
a) 115 jours font 16 semaines complètes et 3 jours.
Après 16 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 3 jours : jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 115 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 110 | oui | non | oui | non | oui |
| 1 222 | oui | non | non | non | non |
| 9 783 | non | oui | non | oui | non |
| 831 | non | oui | non | non | non |
| 335 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
9 110 → 9 + 1 + 1 + 0 = 11 1 222 → 1 + 2 + 2 + 2 = 7 9 783 → 9 + 7 + 8 + 3 = 27
831 → 8 + 3 + 1 = 12 335 → 3 + 3 + 5 = 11
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 1 + 2 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3
Une seule solution : 120.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 315, somme des chiffres 9.
« 33 est un multiple de 3. » Vrai. 33 = 3 × 11 : le reste de la division de 33 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 29 + 3 × 5 = 29 + 15 = 44
B = 13 + 16 ÷ 4 × 4 = 13 + 4 × 4 = 13 + 16 = 29
C = 76 − 3 × (20 − 4) = 76 − 3 × 16 = 76 − 48 = 28
D = [8 + 4 × (6 − 2)] ÷ 2 = [8 + 4 × 4] ÷ 2 = [8 + 16] ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × 2 × (9 − 5) = 6 × 2 × 4 = 12 × 4 = 48
9 + 4 − (7 + 2) = 9 + 4 − 9 = 13 − 9 = 4
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 36 × 101 = 36 × (100 + 1) = 36 × 100 + 36 × 1 = 3 600 + 36 = 3 636
F = 48 × 19 + 48 × 81 = 48 × (19 + 81) = 48 × 100 = 4 800
G = 2 × 66 × 50 = 2 × 50 × 66 = 100 × 66 = 6 600
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 5 × 5 = 5² 2,5 × 2,5 = 2,5²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 7 = 3 × 25 − 7 = 75 − 7 = 68
B = (3 × 5)² − 7 = 15² − 7 = 225 − 7 = 218
C = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
D = (2 + 3)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 5 = 1² + 5 = 1 + 5 = 6 et 6x = 6 × 1 = 6.
6 = 6 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Pour x = 2 : x² + 5 = 2² + 5 = 4 + 5 = 9 et 6x = 6 × 2 = 12.
9 ≠ 12 : l'égalité est fausse pour x = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 1 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 48 et 93. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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