Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 4 + 16 ÷ 2 = 4 + 8 = 12
B = (4 + 16) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (5 + 1) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 5 et 1 par 3.
D = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
E = 43 − 5 × 7 est une différence : c'est la différence entre 43 et le produit de 5 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 171 = 684 ≤ 686 < 688 = 4 × 172 : le quotient est 171, le reste 686 − 684 = 2.
686 = 4 × 171 + 2, avec 2 < 4.
26 × 93 = 2 418 ≤ 2 429 < 2 444 = 26 × 94 : le quotient est 93, le reste 2 429 − 2 418 = 11.
2 429 = 26 × 93 + 11, avec 11 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 607 = 15 × 39 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(b) 607 = 15 × 40 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 15. ✔
(c) 607 = 15 × 41 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 40, reste 7.
Comme 7 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 607 par 40 : quotient 15, reste 7.
3. 241 = 25 × 9 + 16
En 9 soirs, elle lit 225 pages ; il lui en reste encore 16.
a) Il lui faut 9 + 1 = 10 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 16 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 743 | non | oui | non | oui | non |
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 505 | non | non | oui | non | non |
| 4 906 | oui | non | non | non | non |
| 6 860 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
4 743 → 4 + 7 + 4 + 3 = 18 867 → 8 + 6 + 7 = 21 505 → 5 + 0 + 5 = 10
4 906 → 4 + 9 + 0 + 6 = 19 6 860 → 6 + 8 + 6 + 0 = 20
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 5 + 0 + □ = 5 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 504.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 92 est pair mais 92 = 3 × 30 + 2.
« 4 est un diviseur de 103. » Faux. 103 = 4 × 25 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 + 8 × 5 = 24 + 40 = 64
B = 7 × 8 − 5 × 3 = 56 − 15 = 41
C = (8 × 9 − 4) ÷ 2 = (72 − 4) ÷ 2 = 68 ÷ 2 = 34
D = 4 × [38 − (3 + 2)] = 4 × [38 − 5] = 4 × 33 = 132
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 + 5) × 6 − 5 = 13 × 6 − 5 = 78 − 5 = 73
(2 + 2 + 6) × 7 = (4 + 6) × 7 = 10 × 7 = 70
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 37 × 19 + 37 × 81 = 37 × (19 + 81) = 37 × 100 = 3 700
F = 27 × 11 = 27 × (10 + 1) = 27 × 10 + 27 × 1 = 270 + 27 = 297
G = 5 × 19 × 20 = 5 × 20 × 19 = 100 × 19 = 1 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 7 × 7 = 7² 2 × 2 × 2 = 2³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
27 = 3³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
69 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 69 < 81 = 9²) 87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 2 = 5 × 16 − 2 = 80 − 2 = 78
B = (5 × 4)² − 2 = 20² − 2 = 400 − 2 = 398
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 2 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6 et 3x = 3 × 2 = 6.
6 = 6 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Pour x = 4 : x² + 2 = 4² + 2 = 16 + 2 = 18 et 3x = 3 × 4 = 12.
18 ≠ 12 : l'égalité est fausse pour x = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 1, et seulement pour 2 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144 : 12 × 12 = 144, c'est-à-dire 12² = 144.
a) Le côté mesure 12 m.
4 × 12 = 48
b) Le périmètre est de 48 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 85 et 133. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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