Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 8 + 20 ÷ 4 = 8 + 5 = 13
B = (8 + 20) ÷ 4 = 28 ÷ 4 = 7
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 25 − 4 × 6 est une différence : c'est la différence entre 25 et le produit de 4 par 6.
D = 4 × (12 − 10) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 12 et 10.
E = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 72 = 360 ≤ 361 < 365 = 5 × 73 : le quotient est 72, le reste 361 − 360 = 1.
361 = 5 × 72 + 1, avec 1 < 5.
28 × 19 = 532 ≤ 544 < 560 = 28 × 20 : le quotient est 19, le reste 544 − 532 = 12.
544 = 28 × 19 + 12, avec 12 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 226 = 12 × 18 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 226 = 12 × 17 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 226 = 12 × 19 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 18, reste 10.
Comme 10 < 18 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 226 par 18 : quotient 12, reste 10.
3. 190 = 7 × 27 + 1
a) 190 jours font 27 semaines complètes et 1 jour.
Après 27 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 1 jour : jeudi → vendredi.
b) Dans 190 jours, nous serons vendredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 861 | non | oui | non | non | non |
| 2 709 | non | oui | non | oui | non |
| 385 | non | non | oui | non | non |
| 7 710 | oui | oui | oui | non | oui |
| 1 034 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
861 → 8 + 6 + 1 = 15 2 709 → 2 + 7 + 0 + 9 = 18 385 → 3 + 8 + 5 = 16
7 710 → 7 + 7 + 1 + 0 = 15 1 034 → 1 + 0 + 3 + 4 = 8
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 1 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 9
Une seule solution : 531.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 20 est pair mais 20 = 3 × 6 + 2.
« 9 est un diviseur de 252. » Vrai. 252 = 9 × 28 : le reste de la division de 252 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 84 − 3 × 9 = 84 − 27 = 57
B = 56 ÷ 7 × 3 = 8 × 3 = 24
C = (9 + 7) × 6 − 7 = 16 × 6 − 7 = 96 − 7 = 89
D = 4 × [34 − (9 + 2)] = 4 × [34 − 11] = 4 × 23 = 92
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (9 + 6 + 3) = 6 × (15 + 3) = 6 × 18 = 108
9 × (2 + 2 × 3) = 9 × (2 + 6) = 9 × 8 = 72
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 38 × 9 = 38 × (10 − 1) = 38 × 10 − 38 × 1 = 380 − 38 = 342
F = 4,5 × 0,4 + 4,5 × 0,6 = 4,5 × (0,4 + 0,6) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 2 × 63 × 50 = 2 × 50 × 63 = 100 × 63 = 6 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 6 × 6 × 6 = 6³ 4 × 4 = 4²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2 × 5² = 10² » Faux. 2 × 5² = 2 × 25 = 50, alors que 10² = 100. Le carré ne porte que sur 5.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
23 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 23 < 25 = 5²) 27 = 3³ : cube
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
66 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 66 < 81 = 9²) 100 = 10² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 5 = 4 × 36 − 5 = 144 − 5 = 139
B = (4 × 6)² − 5 = 24² − 5 = 576 − 5 = 571
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 6 : x³ + 9 = 6³ + 9 = 216 + 9 = 225
Pour x = 10 : x³ + 9 = 10³ + 9 = 1 000 + 9 = 1 009
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 7² = π × 49 = 49π
a) L'aire exacte est 49π m².
49 × 3,14 = 153,86
b) L'aire vaut environ 154 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 7², et non (π × 7)². On élève 7 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 135 et 180. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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