Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 + 8 × 6 est une somme : c'est la somme de 2 et du produit de 8 par 6.
D = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
E = 38 − 5 × 6 est une différence : c'est la différence entre 38 et le produit de 5 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 30 = 240 ≤ 247 < 248 = 8 × 31 : le quotient est 30, le reste 247 − 240 = 7.
247 = 8 × 30 + 7, avec 7 < 8.
21 × 47 = 987 ≤ 990 < 1 008 = 21 × 48 : le quotient est 47, le reste 990 − 987 = 3.
990 = 21 × 47 + 3, avec 3 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 216 = 7 × 31 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 216 = 7 × 30 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 216 = 7 × 29 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 30, reste 6.
Comme 6 < 30 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 216 par 30 : quotient 7, reste 6.
3. 50 = 15 × 3 + 5
3 minibus pleins transportent 45 élèves ; il en reste 5 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 5 = 10 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 921 | non | oui | non | non | non |
| 3 098 | oui | non | non | non | non |
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 1 550 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 113 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
921 → 9 + 2 + 1 = 12 3 098 → 3 + 0 + 9 + 8 = 20 565 → 5 + 6 + 5 = 16
1 550 → 1 + 5 + 5 + 0 = 11 4 113 → 4 + 1 + 1 + 3 = 9
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 7 + □ = 8 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 12
Une seule solution : 174.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 28 est pair mais 28 = 3 × 9 + 1.
« 38 est un multiple de 3. » Faux. 38 = 3 × 12 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 42 − 6 × 6 = 42 − 36 = 6
B = 9 × 7 − 4 × 5 = 63 − 20 = 43
C = 70 − 2 × (16 − 8) = 70 − 2 × 8 = 70 − 16 = 54
D = 9,8 + 6 × 0,2 = 9,8 + 1,2 = 11
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 − 2 + 3) × 7 = (7 + 3) × 7 = 10 × 7 = 70
8 × 3 × (8 − 7) = 8 × 3 × 1 = 24 × 1 = 24
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 29 × 101 = 29 × (100 + 1) = 29 × 100 + 29 × 1 = 2 900 + 29 = 2 929
F = 55 + 7,8 + 45 = 55 + 45 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 23 × 70 + 23 × 30 = 23 × (70 + 30) = 23 × 100 = 2 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 4 × 4 × 4 = 4³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« (3 + 1)² = 3² + 1² » Faux. (3 + 1)² = 4² = 16, alors que 3² + 1² = 9 + 1 = 10.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 29 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 29 < 36 = 6²)
72 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 72 < 81 = 9²) 97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²)
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 9 = 3 × 9 − 9 = 27 − 9 = 18
B = (3 × 3)² − 9 = 9² − 9 = 81 − 9 = 72
C = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
D = (1 + 4)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 3 = 2² + 3 = 4 + 3 = 7 et 4n = 4 × 2 = 8.
7 ≠ 8 : l'égalité est fausse pour n = 2.
Pour n = 3 : n² + 3 = 3² + 3 = 9 + 3 = 12 et 4n = 4 × 3 = 12.
12 = 12 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 3 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 143 :
11² = 121 ≤ 143 et 12² = 144 > 143.
a) Elle mettra 11 dalles sur chaque côté.
143 − 121 = 22
b) Il lui restera 22 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 93 et 143. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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