Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 7)² = 12² = 144
B = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6² − 13 est une différence : c'est la différence entre le carré de 6 et 13.
D = 9² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 3.
E = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 161 = 805 ≤ 808 < 810 = 5 × 162 : le quotient est 161, le reste 808 − 805 = 3.
808 = 5 × 161 + 3, avec 3 < 5.
13 × 179 = 2 327 ≤ 2 339 < 2 340 = 13 × 180 : le quotient est 179, le reste 2 339 − 2 327 = 12.
2 339 = 13 × 179 + 12, avec 12 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 266 = 15 × 17 + 11 : le reste 11 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 266 = 15 × 16 + 26 : le « reste » 26 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 266 = 15 × 18 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 17, reste 11.
Comme 11 < 17 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 266 par 17 : quotient 15, reste 11.
3. 111 = 12 × 9 + 3, avec 3 < 12
a) Elle remplit 9 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 147 | non | oui | non | oui | non |
| 665 | non | non | oui | non | non |
| 7 370 | oui | non | oui | non | oui |
| 687 | non | oui | non | non | non |
| 5 138 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 147 → 6 + 1 + 4 + 7 = 18 665 → 6 + 6 + 5 = 17 7 370 → 7 + 3 + 7 + 0 = 17
687 → 6 + 8 + 7 = 21 5 138 → 5 + 1 + 3 + 8 = 17
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 2 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 12 ; □ = 4 : 15 ; □ = 7 : 18
3 solutions : 912, 942, 972.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 7 est un diviseur de 142. » Faux. 142 = 7 × 20 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 26 + 4 × 3 = 26 + 12 = 38
B = 9 × 7 − 4 × 5 = 63 − 20 = 43
C = (4 + 11) × 5 − 13 = 15 × 5 − 13 = 75 − 13 = 62
D = 7,5 + 3 × 1,5 = 7,5 + 4,5 = 12
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (7 × 2 − 9) = 7 × (14 − 9) = 7 × 5 = 35
2 × (8 + 8 − 6) = 2 × (16 − 6) = 2 × 10 = 20
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 28 × 23 + 28 × 77 = 28 × (23 + 77) = 28 × 100 = 2 800
F = 39 + 3,45 + 61 = 39 + 61 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
G = 43 × 9 = 43 × (10 − 1) = 43 × 10 − 43 × 1 = 430 − 43 = 387
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 8 × 8 = 8² 6 × 6 × 6 = 6³ 0,7 × 0,7 = 0,7²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 9² = 9 × 9 = 81 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
48 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 48 < 49 = 7²) 49 = 7² : carré
50 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 50 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 8 = 2 × 16 − 8 = 32 − 8 = 24
B = (2 × 4)² − 8 = 8² − 8 = 64 − 8 = 56
C = 6² + 2² = 36 + 4 = 40
D = (6 + 2)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : (x + 2)² = (3 + 2)² = 5² = 25
Pour x = 10 : (x + 2)² = (10 + 2)² = 12² = 144
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 4² = π × 16 = 16π
a) L'aire exacte est 16π m².
16 × 3,14 = 50,24
b) L'aire vaut environ 50 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 4², et non (π × 4)². On élève 4 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 7 et 34. » → encore 26 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 9, 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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