Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (28 + 20) ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12
B = 28 + 20 ÷ 4 = 28 + 5 = 33
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
D = 15 + 6 × 8 est une somme : c'est la somme de 15 et du produit de 6 par 8.
E = 9 × (16 − 11) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 16 et 11.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 70 = 560 ≤ 567 < 568 = 8 × 71 : le quotient est 70, le reste 567 − 560 = 7.
567 = 8 × 70 + 7, avec 7 < 8.
18 × 126 = 2 268 ≤ 2 271 < 2 286 = 18 × 127 : le quotient est 126, le reste 2 271 − 2 268 = 3.
2 271 = 18 × 126 + 3, avec 3 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 351 = 14 × 26 − 13 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 351 = 14 × 25 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 14. ✔
(c) 351 = 14 × 24 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 25, reste 1.
Comme 1 < 25 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 351 par 25 : quotient 14, reste 1.
3. 153 = 12 × 12 + 9
En 12 soirs, elle lit 144 pages ; il lui en reste encore 9.
a) Il lui faut 12 + 1 = 13 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 9 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 346 | oui | non | non | non | non |
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 6 190 | oui | non | oui | non | oui |
| 365 | non | non | oui | non | non |
| 3 141 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
7 346 → 7 + 3 + 4 + 6 = 20 471 → 4 + 7 + 1 = 12 6 190 → 6 + 1 + 9 + 0 = 16
365 → 3 + 6 + 5 = 14 3 141 → 3 + 1 + 4 + 1 = 9
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 3 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6
Une seule solution : 330.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 48 est divisible par 3 (48 = 3 × 16) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 6 est un diviseur de 122. » Faux. 122 = 6 × 20 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 16 + 4 × 6 = 16 + 24 = 40
B = 24 ÷ 4 × 4 = 6 × 4 = 24
C = 82 − 5 × (17 − 4) = 82 − 5 × 13 = 82 − 65 = 17
D = 3 × [31 − (7 + 8)] = 3 × [31 − 15] = 3 × 16 = 48
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (9 + 4) − 4 = 7 × 13 − 4 = 91 − 4 = 87
(7 + 3 × 5) × 9 = (7 + 15) × 9 = 22 × 9 = 198
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 33 × 36 − 33 × 26 = 33 × (36 − 26) = 33 × 10 = 330
F = 35 + 0,75 + 65 = 35 + 65 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 32 × 99 = 32 × (100 − 1) = 32 × 100 − 32 × 1 = 3 200 − 32 = 3 168
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 0,7 × 0,7 = 0,7² 5 × 5 × 5 = 5³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
44 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 44 < 49 = 7²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 100 = 10² : carré
120 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 120 < 121 = 11²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 9 = 2 × 25 − 9 = 50 − 9 = 41
B = (2 × 5)² − 9 = 10² − 9 = 100 − 9 = 91
C = 7² + 4² = 49 + 16 = 65
D = (7 + 4)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 1 : n² + 8 = 1² + 8 = 1 + 8 = 9 et 6n = 6 × 1 = 6.
9 ≠ 6 : l'égalité est fausse pour n = 1.
Pour n = 4 : n² + 8 = 4² + 8 = 16 + 8 = 24 et 6n = 6 × 4 = 24.
24 = 24 : l'égalité est vraie pour n = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 2, et seulement pour 4 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 161 et 205. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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