Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 4)² = 9² = 81
B = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 8) × 3 est un produit : c'est le produit de la somme de 2 et 8 par 3.
D = (3 + 6) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 3 et 6 par 3.
E = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 197 = 985 ≤ 987 < 990 = 5 × 198 : le quotient est 197, le reste 987 − 985 = 2.
987 = 5 × 197 + 2, avec 2 < 5.
29 × 85 = 2 465 ≤ 2 466 < 2 494 = 29 × 86 : le quotient est 85, le reste 2 466 − 2 465 = 1.
2 466 = 29 × 85 + 1, avec 1 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 309 = 8 × 37 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 309 = 8 × 39 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 309 = 8 × 38 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 38, reste 5.
Comme 5 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 309 par 38 : quotient 8, reste 5.
3. 92 = 12 × 7 + 8, avec 8 < 12
a) Elle remplit 7 boîtes pleines.
b) Il reste 8 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 111 | non | oui | non | non | non |
| 3 694 | oui | non | non | non | non |
| 5 740 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 159 | non | oui | non | oui | non |
| 815 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
111 → 1 + 1 + 1 = 3 3 694 → 3 + 6 + 9 + 4 = 22 5 740 → 5 + 7 + 4 + 0 = 16
3 159 → 3 + 1 + 5 + 9 = 18 815 → 8 + 1 + 5 = 14
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 9 = 18 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 18 ; □ = 3 : 21 ; □ = 6 : 24 ; □ = 9 : 27
4 solutions : 909, 939, 969, 999.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 153, somme des chiffres 9.
« 6 est un diviseur de 102. » Vrai. 102 = 6 × 17 : le reste de la division de 102 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 7 + 2 × 7 = 7 + 14 = 21
B = 15 ÷ 3 × 4 = 5 × 4 = 20
C = (2 + 9) × 4 − 18 = 11 × 4 − 18 = 44 − 18 = 26
D = 5 × [36 − (5 + 8)] = 5 × [36 − 13] = 5 × 23 = 115
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 + 3) × 4 + 2 = 8 × 4 + 2 = 32 + 2 = 34
5 × 3 − (6 − 6) = 5 × 3 − 0 = 15 − 0 = 15
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 20 × 15 + 20 × 85 = 20 × (15 + 85) = 20 × 100 = 2 000
F = 24 + 0,75 + 76 = 24 + 76 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 38 × 99 = 38 × (100 − 1) = 38 × 100 − 38 × 1 = 3 800 − 38 = 3 762
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 2 × 2 × 2 = 2³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
77 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 77 < 81 = 9²) 112 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 112 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 4 = 5 × 25 − 4 = 125 − 4 = 121
B = (5 × 5)² − 4 = 25² − 4 = 625 − 4 = 621
C = 7² + 1² = 49 + 1 = 50
D = (7 + 1)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 4 = 3 × 2² − 4 = 3 × 4 − 4 = 12 − 4 = 8
B = (3a)² − 4 = (3 × 2)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 9² = π × 81 = 81π
a) L'aire exacte est 81π m².
81 × 3,14 = 254,34
b) L'aire vaut environ 254 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 9², et non (π × 9)². On élève 9 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 7 et 39. » → encore 31 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 9, 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 16, 25.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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