Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (1 + 4)² = 5² = 25
B = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
D = (10 + 25) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 10 et 25 par 5.
E = (9 + 9) × 4 est un produit : c'est le produit de la somme de 9 et 9 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 62 = 558 ≤ 563 < 567 = 9 × 63 : le quotient est 62, le reste 563 − 558 = 5.
563 = 9 × 62 + 5, avec 5 < 9.
27 × 52 = 1 404 ≤ 1 422 < 1 431 = 27 × 53 : le quotient est 52, le reste 1 422 − 1 404 = 18.
1 422 = 27 × 52 + 18, avec 18 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 119 = 8 × 15 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 119 = 8 × 13 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 119 = 8 × 14 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 14, reste 7.
Comme 7 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 119 par 14 : quotient 8, reste 7.
3. 79 = 12 × 6 + 7
6 minibus pleins transportent 72 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 12 − 7 = 5 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 990 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 7 616 | oui | non | non | non | non |
| 9 657 | non | oui | non | oui | non |
| 535 | non | non | oui | non | non |
| 267 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
9 990 → 9 + 9 + 9 + 0 = 27 7 616 → 7 + 6 + 1 + 6 = 20 9 657 → 9 + 6 + 5 + 7 = 27
535 → 5 + 3 + 5 = 13 267 → 2 + 6 + 7 = 15
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 1 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 9 ; □ = 4 : 12 ; □ = 7 : 15
3 solutions : 711, 741, 771.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 94 est un multiple de 4. » Faux. 94 = 4 × 23 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 79 − 4 × 5 = 79 − 20 = 59
B = 7 × 9 − 5 × 6 = 63 − 30 = 33
C = 80 − 3 × (16 − 5) = 80 − 3 × 11 = 80 − 33 = 47
D = 5 × [26 − (9 + 2)] = 5 × [26 − 11] = 5 × 15 = 75
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × 4 × (5 − 3) = 9 × 4 × 2 = 36 × 2 = 72
8 + 6 − (5 − 5) = 8 + 6 − 0 = 14 − 0 = 14
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 25 × 9 = 25 × (10 − 1) = 25 × 10 − 25 × 1 = 250 − 25 = 225
F = 52 + 7,8 + 48 = 52 + 48 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 2 × 2 × 2 = 2³ 7 × 7 = 7²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 11² = 11 × 11 = 121 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
29 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 29 < 36 = 6²) 100 = 10² : carré
114 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 114 < 121 = 11²) 118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 3 = 4 × 9 − 3 = 36 − 3 = 33
B = (4 × 3)² − 3 = 12² − 3 = 144 − 3 = 141
C = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = (1 + 3)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 2 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6 et 3x = 3 × 2 = 6.
6 = 6 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Pour x = 4 : x² + 2 = 4² + 2 = 16 + 2 = 18 et 3x = 3 × 4 = 12.
18 ≠ 12 : l'égalité est fausse pour x = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 1, et seulement pour 2 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
2 × 5 = 10
a) Il faut 10 carreaux le long d'un côté.
10 rangées de 10 carreaux : 10² = 10 × 10 = 100
b) Il faut 100 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 24 et 71. » → encore 46 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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