Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 14 + 5 × 4 = 14 + 20 = 34
B = (14 + 5) × 4 = 19 × 4 = 76
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (11 + 17) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 11 et 17 par 4.
D = 3 × 6² − 17 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 6 et 17.
E = (11 + 3) × 5 est un produit : c'est le produit de la somme de 11 et 3 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 101 = 606 ≤ 607 < 612 = 6 × 102 : le quotient est 101, le reste 607 − 606 = 1.
607 = 6 × 101 + 1, avec 1 < 6.
17 × 105 = 1 785 ≤ 1 796 < 1 802 = 17 × 106 : le quotient est 105, le reste 1 796 − 1 785 = 11.
1 796 = 17 × 105 + 11, avec 11 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 202 = 6 × 32 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 202 = 6 × 33 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 202 = 6 × 34 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 33, reste 4.
Comme 4 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 202 par 33 : quotient 6, reste 4.
3. 194 = 15 × 12 + 14
En 12 soirs, elle lit 180 pages ; il lui en reste encore 14.
a) Il lui faut 12 + 1 = 13 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 14 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 430 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 514 | oui | non | non | non | non |
| 605 | non | non | oui | non | non |
| 591 | non | oui | non | non | non |
| 7 227 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
7 430 → 7 + 4 + 3 + 0 = 14 4 514 → 4 + 5 + 1 + 4 = 14 605 → 6 + 0 + 5 = 11
591 → 5 + 9 + 1 = 15 7 227 → 7 + 2 + 2 + 7 = 18
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 2 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 9 ; □ = 4 : 12 ; □ = 7 : 15
3 solutions : 612, 642, 672.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 26 est pair mais 26 = 3 × 8 + 2.
« 195 est un multiple de 8. » Faux. 195 = 8 × 24 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 70 − 4 × 6 = 70 − 24 = 46
B = 14 + 27 ÷ 9 × 4 = 14 + 3 × 4 = 14 + 12 = 26
C = (12 + 7) × 5 − 6 = 19 × 5 − 6 = 95 − 6 = 89
D = 3 × [35 − (6 + 6)] = 3 × [35 − 12] = 3 × 23 = 69
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 + 8 − (5 + 8) = 6 + 8 − 13 = 14 − 13 = 1
7 × (6 + 5) − 5 = 7 × 11 − 5 = 77 − 5 = 72
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 21 × 60 − 21 × 50 = 21 × (60 − 50) = 21 × 10 = 210
F = 47 × 11 = 47 × (10 + 1) = 47 × 10 + 47 × 1 = 470 + 47 = 517
G = 74 + 7,8 + 26 = 74 + 26 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 9 × 9 = 9² 1,5 × 1,5 = 1,5²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 77 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 77 < 81 = 9²)
121 = 11² : carré 147 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 147 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 8 = 2 × 16 − 8 = 32 − 8 = 24
B = (2 × 4)² − 8 = 8² − 8 = 64 − 8 = 56
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 4 = 1² + 4 = 1 + 4 = 5 et 5x = 5 × 1 = 5.
5 = 5 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Pour x = 2 : x² + 4 = 2² + 4 = 4 + 4 = 8 et 5x = 5 × 2 = 10.
8 ≠ 10 : l'égalité est fausse pour x = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 4, et seulement pour 1 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 188 et 246. » → encore 57 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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