Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 5)² = 9² = 81
B = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 1² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 4.
D = (6 + 3) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 6 et 3 par 2.
E = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 215 = 860 ≤ 862 < 864 = 4 × 216 : le quotient est 215, le reste 862 − 860 = 2.
862 = 4 × 215 + 2, avec 2 < 4.
16 × 110 = 1 760 ≤ 1 766 < 1 776 = 16 × 111 : le quotient est 110, le reste 1 766 − 1 760 = 6.
1 766 = 16 × 110 + 6, avec 6 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 550 = 14 × 39 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 14. ✔
(b) 550 = 14 × 40 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 550 = 14 × 38 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 39, reste 4.
Comme 4 < 39 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 550 par 39 : quotient 14, reste 4.
3. 86 = 12 × 7 + 2, avec 2 < 12
a) Elle remplit 7 boîtes pleines.
b) Il reste 2 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 210 | oui | non | oui | non | oui |
| 957 | non | oui | non | non | non |
| 445 | non | non | oui | non | non |
| 4 226 | oui | non | non | non | non |
| 4 653 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
4 210 → 4 + 2 + 1 + 0 = 7 957 → 9 + 5 + 7 = 21 445 → 4 + 4 + 5 = 13
4 226 → 4 + 2 + 2 + 6 = 14 4 653 → 4 + 6 + 5 + 3 = 18
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 8 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 6 : 18
Une seule solution : 468.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 144 est un multiple de 9. » Vrai. 144 = 9 × 16 : le reste de la division de 144 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 10 + 7 × 9 = 10 + 63 = 73
B = 6 × 4 − 6 × 3 = 24 − 18 = 6
C = (5 × 9 − 6) ÷ 4 = (45 − 6) ÷ 4 = 39 ÷ 4 = 9,75
D = [3 + 5 × (9 − 4)] ÷ 5 = [3 + 5 × 5] ÷ 5 = [3 + 25] ÷ 5 = 28 ÷ 5 = 5,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (9 − 3 + 7) = 3 × (6 + 7) = 3 × 13 = 39
2 × (4 × 4 + 7) = 2 × (16 + 7) = 2 × 23 = 46
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 40 × 50 + 40 × 50 = 40 × (50 + 50) = 40 × 100 = 4 000
F = 23 × 99 = 23 × (100 − 1) = 23 × 100 − 23 × 1 = 2 300 − 23 = 2 277
G = 86 + 0,75 + 14 = 86 + 14 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 6 × 6 × 6 = 6³ 0,7 × 0,7 = 0,7²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 10² = 10 × 10 = 100 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2 × 5² = 10² » Faux. 2 × 5² = 2 × 25 = 50, alors que 10² = 100. Le carré ne porte que sur 5.
« (1 + 2)² = 1² + 2² » Faux. (1 + 2)² = 3² = 9, alors que 1² + 2² = 1 + 4 = 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 114 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 114 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 127 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 127 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 6 = 4 × 9 − 6 = 36 − 6 = 30
B = (4 × 3)² − 6 = 12² − 6 = 144 − 6 = 138
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 9 = 5 × 4² − 9 = 5 × 16 − 9 = 80 − 9 = 71
B = (5x)² − 9 = (5 × 4)² − 9 = 20² − 9 = 400 − 9 = 391
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 5 et 46. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 9, 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 16, 25.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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