Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 8 + 6 × 9 = 8 + 54 = 62
B = (8 + 6) × 9 = 14 × 9 = 126
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 2.
D = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
E = 10² − 87 est une différence : c'est la différence entre le carré de 10 et 87.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 130 = 390 ≤ 392 < 393 = 3 × 131 : le quotient est 130, le reste 392 − 390 = 2.
392 = 3 × 130 + 2, avec 2 < 3.
16 × 134 = 2 144 ≤ 2 145 < 2 160 = 16 × 135 : le quotient est 134, le reste 2 145 − 2 144 = 1.
2 145 = 16 × 134 + 1, avec 1 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 252 = 11 × 23 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 252 = 11 × 21 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 252 = 11 × 22 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 22, reste 10.
Comme 10 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 252 par 22 : quotient 11, reste 10.
3. 150 = 20 × 7 + 10
En 7 soirs, elle lit 140 pages ; il lui en reste encore 10.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 10 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 396 | oui | non | non | non | non |
| 861 | non | oui | non | non | non |
| 8 703 | non | oui | non | oui | non |
| 5 350 | oui | non | oui | non | oui |
| 595 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
2 396 → 2 + 3 + 9 + 6 = 20 861 → 8 + 6 + 1 = 15 8 703 → 8 + 7 + 0 + 3 = 18
5 350 → 5 + 3 + 5 + 0 = 13 595 → 5 + 9 + 5 = 19
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 4 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 345.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 15 est divisible par 3 (15 = 3 × 5) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 5 est un diviseur de 77. » Faux. 77 = 5 × 15 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 18 + 5 × 4 = 18 + 20 = 38
B = 12 ÷ 2 × 5 = 6 × 5 = 30
C = (12 + 2) × 3 − 18 = 14 × 3 − 18 = 42 − 18 = 24
D = 6,8 + 5 × 2,5 = 6,8 + 12,5 = 19,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 + (7 + 4) × 5 = 3 + 11 × 5 = 3 + 55 = 58
2 × (4 + 5) − 5 = 2 × 9 − 5 = 18 − 5 = 13
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 39 × 28 − 39 × 18 = 39 × (28 − 18) = 39 × 10 = 390
F = 26 × 99 = 26 × (100 − 1) = 26 × 100 − 26 × 1 = 2 600 − 26 = 2 574
G = 2 × 95 × 5 = 2 × 5 × 95 = 10 × 95 = 950
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 11 × 11 = 11² 2,5 × 2,5 = 2,5² 6 × 6 × 6 = 6³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
12 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 12 < 16 = 4²) 16 = 4² : carré
43 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 43 < 49 = 7²) 65 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 65 < 81 = 9²)
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 8 = 4 × 4 − 8 = 16 − 8 = 8
B = (4 × 2)² − 8 = 8² − 8 = 64 − 8 = 56
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 4 : (x + 3)² = (4 + 3)² = 7² = 49
Pour x = 0,5 : (x + 3)² = (0,5 + 3)² = 3,5² = 12,25
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 148 :
12² = 144 ≤ 148 et 13² = 169 > 148.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
148 − 144 = 4
b) Il lui restera 4 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 185 et 236. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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