Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
B = (7 + 6)² = 13² = 169
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9 − 2 × 3 est une différence : c'est la différence entre 9 et le produit de 2 par 3.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = 9 × (16 − 7) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 16 et 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 133 = 931 ≤ 937 < 938 = 7 × 134 : le quotient est 133, le reste 937 − 931 = 6.
937 = 7 × 133 + 6, avec 6 < 7.
17 × 59 = 1 003 ≤ 1 014 < 1 020 = 17 × 60 : le quotient est 59, le reste 1 014 − 1 003 = 11.
1 014 = 17 × 59 + 11, avec 11 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 410 = 12 × 34 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 410 = 12 × 33 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 410 = 12 × 35 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 34, reste 2.
Comme 2 < 34 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 410 par 34 : quotient 12, reste 2.
3. 32 = 7 × 4 + 4, avec 4 < 7
a) Chaque joueur reçoit 4 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 220 | oui | non | oui | non | oui |
| 5 486 | oui | non | non | non | non |
| 905 | non | non | oui | non | non |
| 4 977 | non | oui | non | oui | non |
| 861 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 220 → 3 + 2 + 2 + 0 = 7 5 486 → 5 + 4 + 8 + 6 = 23 905 → 9 + 0 + 5 = 14
4 977 → 4 + 9 + 7 + 7 = 27 861 → 8 + 6 + 1 = 15
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 2 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6
Une seule solution : 420.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 819, somme des chiffres 18.
« 4 est un diviseur de 87. » Faux. 87 = 4 × 21 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 79 − 5 × 4 = 79 − 20 = 59
B = 7 × 8 − 2 × 2 = 56 − 4 = 52
C = 86 − 2 × (19 − 8) = 86 − 2 × 11 = 86 − 22 = 64
D = 5,7 + 5 × 1,2 = 5,7 + 6 = 11,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × 2 × (5 + 5) = 8 × 2 × 10 = 16 × 10 = 160
2 + (8 + 4) × 7 = 2 + 12 × 7 = 2 + 84 = 86
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 36 × 11 = 36 × (10 + 1) = 36 × 10 + 36 × 1 = 360 + 36 = 396
F = 17 × 85 − 17 × 75 = 17 × (85 − 75) = 17 × 10 = 170
G = 33 + 7,8 + 67 = 33 + 67 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 4 × 4 = 4² 6 × 6 × 6 = 6³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 5² = 10 » Faux. 5² = 5 × 5 = 25. L'exposant ne multiplie pas : 5 × 2 = 10, c'est le double.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 121 = 11² : carré
141 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 141 < 144 = 12²) 149 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 149 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 5 = 2 × 36 − 5 = 72 − 5 = 67
B = (2 × 6)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
C = 5² + 2² = 25 + 4 = 29
D = (5 + 2)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 7 = 2 × 4² − 7 = 2 × 16 − 7 = 32 − 7 = 25
B = (2x)² − 7 = (2 × 4)² − 7 = 8² − 7 = 64 − 7 = 57
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 57 et 121. » → encore 63 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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