Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 16 + 28 ÷ 4 = 16 + 7 = 23
B = (16 + 28) ÷ 4 = 44 ÷ 4 = 11
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
D = 3 × (15 − 9) est un produit : c'est le produit de 3 par la différence entre 15 et 9.
E = 1² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 169 = 676 ≤ 678 < 680 = 4 × 170 : le quotient est 169, le reste 678 − 676 = 2.
678 = 4 × 169 + 2, avec 2 < 4.
13 × 173 = 2 249 ≤ 2 259 < 2 262 = 13 × 174 : le quotient est 173, le reste 2 259 − 2 249 = 10.
2 259 = 13 × 173 + 10, avec 10 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 148 = 11 × 12 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 148 = 11 × 14 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 148 = 11 × 13 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 13, reste 5.
Comme 5 < 13 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 148 par 13 : quotient 11, reste 5.
3. 248 = 12 × 20 + 8, avec 8 < 12
a) Elle remplit 20 boîtes pleines.
b) Il reste 8 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 595 | non | non | oui | non | non |
| 231 | non | oui | non | non | non |
| 2 608 | oui | non | non | non | non |
| 6 291 | non | oui | non | oui | non |
| 3 780 | oui | oui | oui | oui | oui |
Sommes des chiffres :
595 → 5 + 9 + 5 = 19 231 → 2 + 3 + 1 = 6 2 608 → 2 + 6 + 0 + 8 = 16
6 291 → 6 + 2 + 9 + 1 = 18 3 780 → 3 + 7 + 8 + 0 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 0 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 705.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 175 est un multiple de 7. » Vrai. 175 = 7 × 25 : le reste de la division de 175 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 54 − 4 + 9 = 50 + 9 = 59
B = 30 ÷ 5 × 2 = 6 × 2 = 12
C = (8 + 2) × 5 − 13 = 10 × 5 − 13 = 50 − 13 = 37
D = 9,1 + 3 × 1,2 = 9,1 + 3,6 = 12,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (7 + 7 + 2) = 5 × (14 + 2) = 5 × 16 = 80
6 × 2 − (4 − 4) = 6 × 2 − 0 = 12 − 0 = 12
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 + 5,05 + 58 = 42 + 58 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
F = 18 × 9 = 18 × (10 − 1) = 18 × 10 − 18 × 1 = 180 − 18 = 162
G = 45 × 23 + 45 × 77 = 45 × (23 + 77) = 45 × 100 = 4 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 1,1 × 1,1 = 1,1² 7 × 7 = 7²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
« 3 × 3² = 9² » Faux. 3 × 3² = 3 × 9 = 27, alors que 9² = 81. Le carré ne porte que sur 3.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
27 = 3³ : cube 32 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 32 < 36 = 6²)
69 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 69 < 81 = 9²) 106 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 106 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 8 = 3 × 16 − 8 = 48 − 8 = 40
B = (3 × 4)² − 8 = 12² − 8 = 144 − 8 = 136
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 5 : 2x³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour x = 10 : 2x³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 60 :
7² = 49 ≤ 60 et 8² = 64 > 60.
a) Elle mettra 7 dalles sur chaque côté.
60 − 49 = 11
b) Il lui restera 11 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 251 et 291. » → encore 39 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 256.
Le nombre mystère est 256 (256 = 16²).
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