Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 2)² = 6² = 36
B = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × (9 − 7) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 9 et 7.
D = 5² + 9² est une somme : c'est la somme des carrés de 5 et de 9.
E = 5 × 9² − 18 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 9 et 18.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 57 = 513 ≤ 517 < 522 = 9 × 58 : le quotient est 57, le reste 517 − 513 = 4.
517 = 9 × 57 + 4, avec 4 < 9.
26 × 82 = 2 132 ≤ 2 151 < 2 158 = 26 × 83 : le quotient est 82, le reste 2 151 − 2 132 = 19.
2 151 = 26 × 82 + 19, avec 19 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 119 = 11 × 11 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 119 = 11 × 10 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 119 = 11 × 9 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 10, reste 9.
Comme 9 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 119 par 10 : quotient 11, reste 9.
3. 61 = 7 × 8 + 5
a) 61 jours font 8 semaines complètes et 5 jours.
Après 8 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 5 jours : jeudi → vendredi → samedi → dimanche → lundi → mardi.
b) Dans 61 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 300 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 687 | non | oui | non | non | non |
| 3 051 | non | oui | non | oui | non |
| 545 | non | non | oui | non | non |
| 4 892 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 300 → 6 + 3 + 0 + 0 = 9 687 → 6 + 8 + 7 = 21 3 051 → 3 + 0 + 5 + 1 = 9
545 → 5 + 4 + 5 = 14 4 892 → 4 + 8 + 9 + 2 = 23
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 9 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 3 : 15 ; □ = 6 : 18 ; □ = 9 : 21
4 solutions : 309, 339, 369, 399.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 882, somme des chiffres 18.
« 261 est un multiple de 9. » Vrai. 261 = 9 × 29 : le reste de la division de 261 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 13 + 2 × 4 = 13 + 8 = 21
B = 27 ÷ 3 × 3 = 9 × 3 = 27
C = (5 + 3) × 4 − 16 = 8 × 4 − 16 = 32 − 16 = 16
D = 3 × [28 − (5 + 2)] = 3 × [28 − 7] = 3 × 21 = 63
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 + (8 + 5) × 8 = 2 + 13 × 8 = 2 + 104 = 106
2 × 4 × (8 − 8) = 2 × 4 × 0 = 8 × 0 = 0
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 72 + 3,45 + 28 = 72 + 28 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
F = 1,5 × 0,4 + 1,5 × 0,6 = 1,5 × (0,4 + 0,6) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 17 × 9 = 17 × (10 − 1) = 17 × 10 − 17 × 1 = 170 − 17 = 153
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 8 × 8 = 8² 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 × 6 = 6³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 9² = 9 × 9 = 81 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 34 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 34 < 36 = 6²)
49 = 7² : carré 50 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 50 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 4 = 3 × 16 − 4 = 48 − 4 = 44
B = (3 × 4)² − 4 = 12² − 4 = 144 − 4 = 140
C = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
D = (6 + 4)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : n³ + 2 = 2³ + 2 = 8 + 2 = 10
Pour n = 10 : n³ + 2 = 10³ + 2 = 1 000 + 2 = 1 002
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
4 × 2 = 8
a) Il faut 8 carreaux le long d'un côté.
8 rangées de 8 carreaux : 8² = 8 × 8 = 64
b) Il faut 64 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 57 et 97. » → encore 39 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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