Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 15 − 2 × 5 = 15 − 10 = 5
B = (15 − 2) × 5 = 13 × 5 = 65
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
D = 12 + 9 × 3 est une somme : c'est la somme de 12 et du produit de 9 par 3.
E = 35 − 6 × 4 est une différence : c'est la différence entre 35 et le produit de 6 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 130 = 910 ≤ 916 < 917 = 7 × 131 : le quotient est 130, le reste 916 − 910 = 6.
916 = 7 × 130 + 6, avec 6 < 7.
29 × 24 = 696 ≤ 717 < 725 = 29 × 25 : le quotient est 24, le reste 717 − 696 = 21.
717 = 29 × 24 + 21, avec 21 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 229 = 10 × 23 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 229 = 10 × 21 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(c) 229 = 10 × 22 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 22, reste 9.
Comme 9 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 229 par 22 : quotient 10, reste 9.
3. 103 = 15 × 6 + 13
6 minibus pleins transportent 90 élèves ; il en reste 13 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 13 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 668 | oui | non | non | non | non |
| 5 229 | non | oui | non | oui | non |
| 591 | non | oui | non | non | non |
| 265 | non | non | oui | non | non |
| 5 770 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
9 668 → 9 + 6 + 6 + 8 = 29 5 229 → 5 + 2 + 2 + 9 = 18 591 → 5 + 9 + 1 = 15
265 → 2 + 6 + 5 = 13 5 770 → 5 + 7 + 7 + 0 = 19
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 6 + 1 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 615.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 774, somme des chiffres 18.
« 6 est un diviseur de 102. » Vrai. 102 = 6 × 17 : le reste de la division de 102 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 3 + 2 × 2 = 3 + 4 = 7
B = 42 ÷ 6 × 2 = 7 × 2 = 14
C = (7 + 8) × 5 − 14 = 15 × 5 − 14 = 75 − 14 = 61
D = [5 + 8 × (8 − 3)] ÷ 5 = [5 + 8 × 5] ÷ 5 = [5 + 40] ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × 9 − (9 + 7) = 6 × 9 − 16 = 54 − 16 = 38
8 + 7 × (6 + 2) = 8 + 7 × 8 = 8 + 56 = 64
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 82 + 0,75 + 18 = 82 + 18 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 3,6 × 0,4 + 3,6 × 0,6 = 3,6 × (0,4 + 0,6) = 3,6 × 1 = 3,6
G = 42 × 9 = 42 × (10 − 1) = 42 × 10 − 42 × 1 = 420 − 42 = 378
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 4 × 4 = 4² 0,4 × 0,4 = 0,4²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (1 + 2)² = 1² + 2² » Faux. (1 + 2)² = 3² = 9, alors que 1² + 2² = 1 + 4 = 5.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 78 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 78 < 81 = 9²)
100 = 10² : carré 125 = 5³ : cube
140 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 140 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 3 = 4 × 16 − 3 = 64 − 3 = 61
B = (4 × 4)² − 3 = 16² − 3 = 256 − 3 = 253
C = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
D = (6 + 3)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 8 = 3 × 3² − 8 = 3 × 9 − 8 = 27 − 8 = 19
B = (3x)² − 8 = (3 × 3)² − 8 = 9² − 8 = 81 − 8 = 73
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 151 :
12² = 144 ≤ 151 et 13² = 169 > 151.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
151 − 144 = 7
b) Il lui restera 7 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 104 et 178. » → encore 73 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144, 169.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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