Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 3)² = 6² = 36
B = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 × 3² − 20 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 3 et 20.
D = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
E = 6² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 6 et de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 45 = 405 ≤ 410 < 414 = 9 × 46 : le quotient est 45, le reste 410 − 405 = 5.
410 = 9 × 45 + 5, avec 5 < 9.
26 × 81 = 2 106 ≤ 2 110 < 2 132 = 26 × 82 : le quotient est 81, le reste 2 110 − 2 106 = 4.
2 110 = 26 × 81 + 4, avec 4 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 157 = 8 × 19 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 157 = 8 × 20 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 157 = 8 × 18 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 19, reste 5.
Comme 5 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 157 par 19 : quotient 8, reste 5.
3. 86 = 15 × 5 + 11
En 5 soirs, elle lit 75 pages ; il lui en reste encore 11.
a) Il lui faut 5 + 1 = 6 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 11 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 605 | non | non | oui | non | non |
| 8 896 | oui | non | non | non | non |
| 1 791 | non | oui | non | oui | non |
| 2 150 | oui | non | oui | non | oui |
| 357 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
605 → 6 + 0 + 5 = 11 8 896 → 8 + 8 + 9 + 6 = 31 1 791 → 1 + 7 + 9 + 1 = 18
2 150 → 2 + 1 + 5 + 0 = 8 357 → 3 + 5 + 7 = 15
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 9 + 1 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 8 : 18
2 solutions : 912, 918.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 76 est pair mais 76 = 3 × 25 + 1.
« 5 est un diviseur de 150. » Vrai. 150 = 5 × 30 : le reste de la division de 150 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 23 + 3 × 8 = 23 + 24 = 47
B = 18 ÷ 3 × 5 = 6 × 5 = 30
C = 97 − 4 × (20 − 8) = 97 − 4 × 12 = 97 − 48 = 49
D = [4 + 3 × (7 − 3)] ÷ 5 = [4 + 3 × 4] ÷ 5 = [4 + 12] ÷ 5 = 16 ÷ 5 = 3,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (4 + 6 + 2) = 4 × (10 + 2) = 4 × 12 = 48
9 × (9 + 9) + 9 = 9 × 18 + 9 = 162 + 9 = 171
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 63 + 0,75 + 37 = 63 + 37 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 26 × 27 + 26 × 73 = 26 × (27 + 73) = 26 × 100 = 2 600
G = 19 × 99 = 19 × (100 − 1) = 19 × 100 − 19 × 1 = 1 900 − 19 = 1 881
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 7 × 7 = 7² 3 × 3 × 3 = 3³
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
30 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 30 < 36 = 6²) 83 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 83 < 100 = 10²)
102 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 102 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 2 = 3 × 25 − 2 = 75 − 2 = 73
B = (3 × 5)² − 2 = 15² − 2 = 225 − 2 = 223
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 6 = 1² + 6 = 1 + 6 = 7 et 5x = 5 × 1 = 5.
7 ≠ 5 : l'égalité est fausse pour x = 1.
Pour x = 3 : x² + 6 = 3² + 6 = 9 + 6 = 15 et 5x = 5 × 3 = 15.
15 = 15 : l'égalité est vraie pour x = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 2, et seulement pour 3 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144 : 12 × 12 = 144, c'est-à-dire 12² = 144.
a) Le côté mesure 12 m.
4 × 12 = 48
b) Le périmètre est de 48 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 35 et 55. » → encore 19 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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