Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (9 + 21) ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10
B = 9 + 21 ÷ 3 = 9 + 7 = 16
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 3.
D = 20 + 64 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 20 et du quotient de 64 par 8.
E = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 45 = 405 ≤ 410 < 414 = 9 × 46 : le quotient est 45, le reste 410 − 405 = 5.
410 = 9 × 45 + 5, avec 5 < 9.
28 × 85 = 2 380 ≤ 2 386 < 2 408 = 28 × 86 : le quotient est 85, le reste 2 386 − 2 380 = 6.
2 386 = 28 × 85 + 6, avec 6 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 303 = 8 × 38 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 303 = 8 × 36 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 303 = 8 × 37 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 37, reste 7.
Comme 7 < 37 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 303 par 37 : quotient 8, reste 7.
3. 116 = 15 × 7 + 11
7 minibus pleins transportent 105 élèves ; il en reste 11 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 7 + 1 = 8 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 11 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 515 | non | non | oui | non | non |
| 6 291 | non | oui | non | oui | non |
| 7 180 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 752 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
627 → 6 + 2 + 7 = 15 515 → 5 + 1 + 5 = 11 6 291 → 6 + 2 + 9 + 1 = 18
7 180 → 7 + 1 + 8 + 0 = 16 6 752 → 6 + 7 + 5 + 2 = 20
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 3 + 3 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 6 : 12
2 solutions : 330, 336.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 78 est divisible par 3 (78 = 3 × 26) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 45 est un multiple de 3. » Vrai. 45 = 3 × 15 : le reste de la division de 45 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 27 + 5 × 5 = 27 + 25 = 52
B = 36 ÷ 6 × 4 = 6 × 4 = 24
C = 89 − 5 × (13 − 8) = 89 − 5 × 5 = 89 − 25 = 64
D = 3,7 + 4 × 1,2 = 3,7 + 4,8 = 8,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 + 5) × 7 − 9 = 14 × 7 − 9 = 98 − 9 = 89
(6 × 4 + 2) × 6 = (24 + 2) × 6 = 26 × 6 = 156
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 24 × 99 = 24 × (100 − 1) = 24 × 100 − 24 × 1 = 2 400 − 24 = 2 376
F = 12,5 × 0,4 + 12,5 × 0,6 = 12,5 × (0,4 + 0,6) = 12,5 × 1 = 12,5
G = 77 + 5,05 + 23 = 77 + 23 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 3 × 3 × 3 = 3³ 5 × 5 = 5²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4 × 4² = 16² » Faux. 4 × 4² = 4 × 16 = 64, alors que 16² = 256. Le carré ne porte que sur 4.
« 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
49 = 7² : carré 83 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 83 < 100 = 10²)
142 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 142 < 144 = 12²) 150 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 150 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 8 = 4 × 9 − 8 = 36 − 8 = 28
B = (4 × 3)² − 8 = 12² − 8 = 144 − 8 = 136
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 6 : x² + 20 = 6² + 20 = 36 + 20 = 56 et 9x = 9 × 6 = 54.
56 ≠ 54 : l'égalité est fausse pour x = 6.
Pour x = 4 : x² + 20 = 4² + 20 = 16 + 20 = 36 et 9x = 9 × 4 = 36.
36 = 36 : l'égalité est vraie pour x = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 4 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 30. » → encore 28 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 4, 16.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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