Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 × 9² − 8 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 9 et 8.
D = (5 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 2.
E = (4 + 8) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 4 et 8 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 81 = 648 ≤ 654 < 656 = 8 × 82 : le quotient est 81, le reste 654 − 648 = 6.
654 = 8 × 81 + 6, avec 6 < 8.
24 × 81 = 1 944 ≤ 1 951 < 1 968 = 24 × 82 : le quotient est 81, le reste 1 951 − 1 944 = 7.
1 951 = 24 × 81 + 7, avec 7 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 276 = 10 × 27 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 10. ✔
(b) 276 = 10 × 28 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 276 = 10 × 26 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 27, reste 6.
Comme 6 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 276 par 27 : quotient 10, reste 6.
3. 32 = 7 × 4 + 4, avec 4 < 7
a) Chaque joueur reçoit 4 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 626 | oui | non | non | non | non |
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 1 503 | non | oui | non | oui | non |
| 3 290 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
8 626 → 8 + 6 + 2 + 6 = 22 471 → 4 + 7 + 1 = 12 565 → 5 + 6 + 5 = 16
1 503 → 1 + 5 + 0 + 3 = 9 3 290 → 3 + 2 + 9 + 0 = 14
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 1 + □ = 4 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 315.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 5 est un diviseur de 93. » Faux. 93 = 5 × 18 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 9 + 2 × 8 = 9 + 16 = 25
B = 9 × 5 − 2 × 6 = 45 − 12 = 33
C = (6 + 7) × 4 − 15 = 13 × 4 − 15 = 52 − 15 = 37
D = 8,1 + 3 × 0,5 = 8,1 + 1,5 = 9,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 + 6 × (6 + 8) = 4 + 6 × 14 = 4 + 84 = 88
3 × (8 × 7 − 9) = 3 × (56 − 9) = 3 × 47 = 141
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 101 = 42 × (100 + 1) = 42 × 100 + 42 × 1 = 4 200 + 42 = 4 242
F = 52 + 5,05 + 48 = 52 + 48 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
G = 18 × 74 + 18 × 26 = 18 × (74 + 26) = 18 × 100 = 1 800
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 3 × 3 = 3² 2 × 2 × 2 = 2³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 67 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 67 < 81 = 9²)
143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 3 = 2 × 4 − 3 = 8 − 3 = 5
B = (2 × 2)² − 3 = 4² − 3 = 16 − 3 = 13
C = 2² + 7² = 4 + 49 = 53
D = (2 + 7)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 2 = 5 × 4² − 2 = 5 × 16 − 2 = 80 − 2 = 78
B = (5a)² − 2 = (5 × 4)² − 2 = 20² − 2 = 400 − 2 = 398
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 400 : 20 × 20 = 400, c'est-à-dire 20² = 400.
a) Le côté mesure 20 m.
4 × 20 = 80
b) Le périmètre est de 80 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 187 et 256. » → encore 68 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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