Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = 5² − 1 est une différence : c'est la différence entre le carré de 5 et 1.
E = (25 + 2) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 25 et 2 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 54 = 324 ≤ 325 < 330 = 6 × 55 : le quotient est 54, le reste 325 − 324 = 1.
325 = 6 × 54 + 1, avec 1 < 6.
23 × 95 = 2 185 ≤ 2 205 < 2 208 = 23 × 96 : le quotient est 95, le reste 2 205 − 2 185 = 20.
2 205 = 23 × 95 + 20, avec 20 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 190 = 8 × 23 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 190 = 8 × 24 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 190 = 8 × 22 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 23, reste 6.
Comme 6 < 23 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 190 par 23 : quotient 8, reste 6.
3. 32 = 5 × 6 + 2, avec 2 < 5
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 893 | non | oui | non | oui | non |
| 1 810 | oui | non | oui | non | oui |
| 381 | non | oui | non | non | non |
| 785 | non | non | oui | non | non |
| 8 938 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
7 893 → 7 + 8 + 9 + 3 = 27 1 810 → 1 + 8 + 1 + 0 = 10 381 → 3 + 8 + 1 = 12
785 → 7 + 8 + 5 = 20 8 938 → 8 + 9 + 3 + 8 = 28
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 0 + □ = 8 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 12
Une seule solution : 804.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 69 est divisible par 3 (69 = 3 × 23) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 123 est un multiple de 5. » Faux. 123 = 5 × 24 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 11 + 5 × 7 = 11 + 35 = 46
B = 9 × 7 − 3 × 4 = 63 − 12 = 51
C = (12 + 2) × 4 − 7 = 14 × 4 − 7 = 56 − 7 = 49
D = 4,4 + 5 × 0,5 = 4,4 + 2,5 = 6,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (4 + 8) − 4 = 9 × 12 − 4 = 108 − 4 = 104
8 × (6 − 2) − 9 = 8 × 4 − 9 = 32 − 9 = 23
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 20 + 5,05 + 80 = 20 + 80 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
F = 17 × 99 = 17 × (100 − 1) = 17 × 100 − 17 × 1 = 1 700 − 17 = 1 683
G = 21 × 65 + 21 × 35 = 21 × (65 + 35) = 21 × 100 = 2 100
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 5 × 5 = 5² 4 × 4 × 4 = 4³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 52 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 52 < 64 = 8²)
75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
119 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 119 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 8 = 5 × 25 − 8 = 125 − 8 = 117
B = (5 × 5)² − 8 = 25² − 8 = 625 − 8 = 617
C = 7² + 3² = 49 + 9 = 58
D = (7 + 3)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 5 = 2 × 4² − 5 = 2 × 16 − 5 = 32 − 5 = 27
B = (2x)² − 5 = (2 × 4)² − 5 = 8² − 5 = 64 − 5 = 59
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 67 :
8² = 64 ≤ 67 et 9² = 81 > 67.
a) Elle mettra 8 dalles sur chaque côté.
67 − 64 = 3
b) Il lui restera 3 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 58 et 104. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 64, 100.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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