Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 32 − 4 × 5 = 32 − 20 = 12
B = (32 − 4) × 5 = 28 × 5 = 140
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 12² − 76 est une différence : c'est la différence entre le carré de 12 et 76.
D = 2 × 4² est un produit : c'est le double du carré de 4.
E = (3 + 5)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 252 = 756 ≤ 758 < 759 = 3 × 253 : le quotient est 252, le reste 758 − 756 = 2.
758 = 3 × 252 + 2, avec 2 < 3.
22 × 79 = 1 738 ≤ 1 757 < 1 760 = 22 × 80 : le quotient est 79, le reste 1 757 − 1 738 = 19.
1 757 = 22 × 79 + 19, avec 19 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 427 = 14 × 30 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 14. ✔
(b) 427 = 14 × 29 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 427 = 14 × 31 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 30, reste 7.
Comme 7 < 30 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 427 par 30 : quotient 14, reste 7.
3. 49 = 8 × 6 + 1
6 minibus pleins transportent 48 élèves ; il en reste 1 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 1 = 7 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 852 | oui | non | non | non | non |
| 9 477 | non | oui | non | oui | non |
| 9 550 | oui | non | oui | non | oui |
| 111 | non | oui | non | non | non |
| 595 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
1 852 → 1 + 8 + 5 + 2 = 16 9 477 → 9 + 4 + 7 + 7 = 27 9 550 → 9 + 5 + 5 + 0 = 19
111 → 1 + 1 + 1 = 3 595 → 5 + 9 + 5 = 19
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 7 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 3 : 12 ; □ = 6 : 15 ; □ = 9 : 18
4 solutions : 207, 237, 267, 297.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 297, somme des chiffres 18.
« 156 est un multiple de 7. » Faux. 156 = 7 × 22 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 38 − 6 + 14 = 32 + 14 = 46
B = 45 ÷ 9 × 2 = 5 × 2 = 10
C = (3 × 6 − 1) ÷ 4 = (18 − 1) ÷ 4 = 17 ÷ 4 = 4,25
D = 1,5 + 5 × 1,5 = 1,5 + 7,5 = 9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 8) × 5 − 3 = 10 × 5 − 3 = 50 − 3 = 47
5 × (5 + 3) − 8 = 5 × 8 − 8 = 40 − 8 = 32
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 68 + 0,75 + 32 = 68 + 32 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 47 × 9 = 47 × (10 − 1) = 47 × 10 − 47 × 1 = 470 − 47 = 423
G = 12,5 × 0,8 + 12,5 × 0,2 = 12,5 × (0,8 + 0,2) = 12,5 × 1 = 12,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 2 × 2 × 2 = 2³ 7 × 7 = 7²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 3² = 1 + 9 = 10, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 4 × 3² = 12² » Faux. 4 × 3² = 4 × 9 = 36, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
30 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 30 < 36 = 6²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
100 = 10² : carré 145 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 145 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 5 = 5 × 25 − 5 = 125 − 5 = 120
B = (5 × 5)² − 5 = 25² − 5 = 625 − 5 = 620
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 2 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6 et 3n = 3 × 2 = 6.
6 = 6 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Pour n = 6 : n² + 2 = 6² + 2 = 36 + 2 = 38 et 3n = 3 × 6 = 18.
38 ≠ 18 : l'égalité est fausse pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 2 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36 : 6 × 6 = 36, c'est-à-dire 6² = 36.
a) Le côté mesure 6 m.
4 × 6 = 24
b) Le périmètre est de 24 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 4 et 59. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 9, 16, 25, 36, 49.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 9, 36.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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