Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
B = (2 × 4)² = 8² = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 4 et de 5.
D = (6 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 4.
E = (9 + 4) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 9 et 4 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 104 = 832 ≤ 838 < 840 = 8 × 105 : le quotient est 104, le reste 838 − 832 = 6.
838 = 8 × 104 + 6, avec 6 < 8.
28 × 66 = 1 848 ≤ 1 857 < 1 876 = 28 × 67 : le quotient est 66, le reste 1 857 − 1 848 = 9.
1 857 = 28 × 66 + 9, avec 9 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 193 = 10 × 19 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 10. ✔
(b) 193 = 10 × 18 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(c) 193 = 10 × 20 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 19, reste 3.
Comme 3 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 193 par 19 : quotient 10, reste 3.
3. 184 = 18 × 10 + 4
En 10 soirs, elle lit 180 pages ; il lui en reste encore 4.
a) Il lui faut 10 + 1 = 11 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 4 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 605 | non | non | oui | non | non |
| 6 148 | oui | non | non | non | non |
| 9 060 | oui | oui | oui | non | oui |
| 7 587 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
867 → 8 + 6 + 7 = 21 605 → 6 + 0 + 5 = 11 6 148 → 6 + 1 + 4 + 8 = 19
9 060 → 9 + 0 + 6 + 0 = 15 7 587 → 7 + 5 + 8 + 7 = 27
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 0 = 1 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 3 ; □ = 5 : 6 ; □ = 8 : 9
3 solutions : 120, 150, 180.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 52 est pair mais 52 = 3 × 17 + 1.
« 135 est un multiple de 9. » Vrai. 135 = 9 × 15 : le reste de la division de 135 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 12 + 4 × 6 = 12 + 24 = 36
B = 9 × 3 − 3 × 2 = 27 − 6 = 21
C = 52 − 2 × (16 − 6) = 52 − 2 × 10 = 52 − 20 = 32
D = 3 × [25 − (9 + 9)] = 3 × [25 − 18] = 3 × 7 = 21
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 × 3 + 9) × 4 = (18 + 9) × 4 = 27 × 4 = 108
3 + 9 − (3 + 4) = 3 + 9 − 7 = 12 − 7 = 5
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 13 × 9 = 13 × (10 − 1) = 13 × 10 − 13 × 1 = 130 − 13 = 117
F = 3,6 × 0,7 + 3,6 × 0,3 = 3,6 × (0,7 + 0,3) = 3,6 × 1 = 3,6
G = 30 + 3,45 + 70 = 30 + 70 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 1,1 × 1,1 = 1,1² 2 × 2 × 2 = 2³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 6² = 12 » Faux. 6² = 6 × 6 = 36. L'exposant ne multiplie pas : 6 × 2 = 12, c'est le double.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 49 = 7² : carré
62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
125 = 5³ : cube 135 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 135 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 8 = 5 × 4 − 8 = 20 − 8 = 12
B = (5 × 2)² − 8 = 10² − 8 = 100 − 8 = 92
C = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
D = (4 + 1)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 4 = 4 × 5² − 4 = 4 × 25 − 4 = 100 − 4 = 96
B = (4x)² − 4 = (4 × 5)² − 4 = 20² − 4 = 400 − 4 = 396
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 190 et 245. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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