Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 3)² = 6² = 36
B = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (5 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 4.
D = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
E = 9 + 56 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 9 et du quotient de 56 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 45 = 270 ≤ 271 < 276 = 6 × 46 : le quotient est 45, le reste 271 − 270 = 1.
271 = 6 × 45 + 1, avec 1 < 6.
14 × 171 = 2 394 ≤ 2 405 < 2 408 = 14 × 172 : le quotient est 171, le reste 2 405 − 2 394 = 11.
2 405 = 14 × 171 + 11, avec 11 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 282 = 13 × 22 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 282 = 13 × 21 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 13. ✔
(c) 282 = 13 × 20 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 21, reste 9.
Comme 9 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 282 par 21 : quotient 13, reste 9.
3. 316 = 30 × 10 + 16
En 10 soirs, elle lit 300 pages ; il lui en reste encore 16.
a) Il lui faut 10 + 1 = 11 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 16 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 2 620 | oui | non | oui | non | oui |
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 4 329 | non | oui | non | oui | non |
| 3 968 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
565 → 5 + 6 + 5 = 16 2 620 → 2 + 6 + 2 + 0 = 10 681 → 6 + 8 + 1 = 15
4 329 → 4 + 3 + 2 + 9 = 18 3 968 → 3 + 9 + 6 + 8 = 26
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 5 + 0 + □ = 5 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 504.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 98 est pair mais 98 = 3 × 32 + 2.
« 7 est un diviseur de 84. » Vrai. 84 = 7 × 12 : le reste de la division de 84 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 14 + 3 × 6 = 14 + 18 = 32
B = 8 × 4 − 4 × 4 = 32 − 16 = 16
C = (4 + 6) × 5 − 15 = 10 × 5 − 15 = 50 − 15 = 35
D = 3 × [23 − (4 + 9)] = 3 × [23 − 13] = 3 × 10 = 30
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 − (3 + 4 − 3) = 6 − (7 − 3) = 6 − 4 = 2
8 × (2 + 5 + 2) = 8 × (7 + 2) = 8 × 9 = 72
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 23 × 25 = 4 × 25 × 23 = 100 × 23 = 2 300
F = 31 × 11 = 31 × (10 + 1) = 31 × 10 + 31 × 1 = 310 + 31 = 341
G = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 10 × 10 = 10²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« (3 + 2)² = 3² + 2² » Faux. (3 + 2)² = 5² = 25, alors que 3² + 2² = 9 + 4 = 13.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
14 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 14 < 16 = 4²) 25 = 5² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 66 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 66 < 81 = 9²)
100 = 10² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 1 = 4 × 36 − 1 = 144 − 1 = 143
B = (4 × 6)² − 1 = 24² − 1 = 576 − 1 = 575
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 2 = 3 × 5² − 2 = 3 × 25 − 2 = 75 − 2 = 73
B = (3x)² − 2 = (3 × 5)² − 2 = 15² − 2 = 225 − 2 = 223
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
2 × 5 = 10
a) Il faut 10 carreaux le long d'un côté.
10 rangées de 10 carreaux : 10² = 10 × 10 = 100
b) Il faut 100 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 67 et 121. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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