Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (42 + 42) ÷ 6 = 84 ÷ 6 = 14
B = 42 + 42 ÷ 6 = 42 + 7 = 49
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 12 + 6 × 7 est une somme : c'est la somme de 12 et du produit de 6 par 7.
D = 33 − 6 × 5 est une différence : c'est la différence entre 33 et le produit de 6 par 5.
E = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 56 = 224 ≤ 225 < 228 = 4 × 57 : le quotient est 56, le reste 225 − 224 = 1.
225 = 4 × 56 + 1, avec 1 < 4.
26 × 54 = 1 404 ≤ 1 408 < 1 430 = 26 × 55 : le quotient est 54, le reste 1 408 − 1 404 = 4.
1 408 = 26 × 54 + 4, avec 4 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 147 = 8 × 19 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 147 = 8 × 18 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 147 = 8 × 17 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 18, reste 3.
Comme 3 < 18 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 147 par 18 : quotient 8, reste 3.
3. 115 = 12 × 9 + 7, avec 7 < 12
a) Elle remplit 9 boîtes pleines.
b) Il reste 7 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 505 | non | non | oui | non | non |
| 1 148 | oui | non | non | non | non |
| 4 670 | oui | non | oui | non | oui |
| 411 | non | oui | non | non | non |
| 8 631 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
505 → 5 + 0 + 5 = 10 1 148 → 1 + 1 + 4 + 8 = 14 4 670 → 4 + 6 + 7 + 0 = 17
411 → 4 + 1 + 1 = 6 8 631 → 8 + 6 + 3 + 1 = 18
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 7 = 13 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 5 : 18 ; □ = 8 : 21
3 solutions : 627, 657, 687.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 52 est un multiple de 3. » Faux. 52 = 3 × 17 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 3 + 9 × 5 = 3 + 45 = 48
B = 19 + 16 ÷ 2 × 3 = 19 + 8 × 3 = 19 + 24 = 43
C = 90 − 3 × (12 − 4) = 90 − 3 × 8 = 90 − 24 = 66
D = 8,7 + 3 × 1,2 = 8,7 + 3,6 = 12,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 − (5 + 2) + 4 = 7 − 7 + 4 = 0 + 4 = 4
7 × 4 × (9 − 3) = 7 × 4 × 6 = 28 × 6 = 168
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,25 + 4,5 × 0,75 = 4,5 × (0,25 + 0,75) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 2 × 73 × 50 = 2 × 50 × 73 = 100 × 73 = 7 300
G = 31 × 101 = 31 × (100 + 1) = 31 × 100 + 31 × 1 = 3 100 + 31 = 3 131
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 4 × 4 × 4 = 4³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 28 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 28 < 36 = 6²)
36 = 6² : carré 47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 5 = 3 × 9 − 5 = 27 − 5 = 22
B = (3 × 3)² − 5 = 9² − 5 = 81 − 5 = 76
C = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
D = (2 + 3)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 2 : a² + 2a = 2² + 2 × 2 = 4 + 2 × 2 = 4 + 4 = 8
Pour a = 10 : a² + 2a = 10² + 2 × 10 = 100 + 2 × 10 = 100 + 20 = 120
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 288 et 349. » → encore 60 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 289, 324.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 324.
Le nombre mystère est 324 (324 = 18²).
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