Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 7 + 9 ÷ 3 est une somme : c'est la somme de 7 et du quotient de 9 par 3.
D = (2 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 3.
E = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 166 = 996 ≤ 997 < 1 002 = 6 × 167 : le quotient est 166, le reste 997 − 996 = 1.
997 = 6 × 166 + 1, avec 1 < 6.
28 × 19 = 532 ≤ 539 < 560 = 28 × 20 : le quotient est 19, le reste 539 − 532 = 7.
539 = 28 × 19 + 7, avec 7 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 191 = 7 × 26 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 191 = 7 × 27 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 191 = 7 × 28 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 27, reste 2.
Comme 2 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 191 par 27 : quotient 7, reste 2.
3. 141 = 20 × 7 + 1
En 7 soirs, elle lit 140 pages ; il lui en reste encore 1.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 1 page.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 295 | non | non | oui | non | non |
| 4 700 | oui | non | oui | non | oui |
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 1 971 | non | oui | non | oui | non |
| 8 288 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
295 → 2 + 9 + 5 = 16 4 700 → 4 + 7 + 0 + 0 = 11 867 → 8 + 6 + 7 = 21
1 971 → 1 + 9 + 7 + 1 = 18 8 288 → 8 + 2 + 8 + 8 = 26
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 5 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 8 : 21
2 solutions : 852, 858.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 702, somme des chiffres 9.
« 7 est un diviseur de 130. » Faux. 130 = 7 × 18 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 59 − 5 × 3 = 59 − 15 = 44
B = 9 × 9 − 3 × 2 = 81 − 6 = 75
C = (12 + 10) × 3 − 11 = 22 × 3 − 11 = 66 − 11 = 55
D = 4 × [21 − (3 + 5)] = 4 × [21 − 8] = 4 × 13 = 52
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (4 − 4 + 7) = 8 × (0 + 7) = 8 × 7 = 56
(6 + 5 + 7) × 9 = (11 + 7) × 9 = 18 × 9 = 162
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 70 × 5 = 2 × 5 × 70 = 10 × 70 = 700
F = 27 × 66 − 27 × 56 = 27 × (66 − 56) = 27 × 10 = 270
G = 34 × 9 = 34 × (10 − 1) = 34 × 10 − 34 × 1 = 340 − 34 = 306
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 4 × 4 × 4 = 4³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 4 × 4² = 16² » Faux. 4 × 4² = 4 × 16 = 64, alors que 16² = 256. Le carré ne porte que sur 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 71 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 71 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 98 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 98 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 9 = 4 × 25 − 9 = 100 − 9 = 91
B = (4 × 5)² − 9 = 20² − 9 = 400 − 9 = 391
C = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
D = (7 + 5)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : n² + 3n = 6² + 3 × 6 = 36 + 3 × 6 = 36 + 18 = 54
Pour n = 10 : n² + 3n = 10² + 3 × 10 = 100 + 3 × 10 = 100 + 30 = 130
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36 : 6 × 6 = 36, c'est-à-dire 6² = 36.
a) Le côté mesure 6 m.
4 × 6 = 24
b) Le périmètre est de 24 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 163 et 218. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.