Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3 + 8 × 3 = 3 + 24 = 27
B = (3 + 8) × 3 = 11 × 3 = 33
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 + 6 × 2 est une somme : c'est la somme de 3 et du produit de 6 par 2.
D = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
E = 4 × (12 − 4) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 12 et 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 154 = 770 ≤ 772 < 775 = 5 × 155 : le quotient est 154, le reste 772 − 770 = 2.
772 = 5 × 154 + 2, avec 2 < 5.
24 × 95 = 2 280 ≤ 2 299 < 2 304 = 24 × 96 : le quotient est 95, le reste 2 299 − 2 280 = 19.
2 299 = 24 × 95 + 19, avec 19 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 355 = 14 × 25 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 14. ✔
(b) 355 = 14 × 24 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 355 = 14 × 26 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 25, reste 5.
Comme 5 < 25 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 355 par 25 : quotient 14, reste 5.
3. 161 = 12 × 13 + 5, avec 5 < 12
a) Elle remplit 13 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 291 | non | oui | non | non | non |
| 1 413 | non | oui | non | oui | non |
| 5 420 | oui | non | oui | non | oui |
| 955 | non | non | oui | non | non |
| 5 078 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
291 → 2 + 9 + 1 = 12 1 413 → 1 + 4 + 1 + 3 = 9 5 420 → 5 + 4 + 2 + 0 = 11
955 → 9 + 5 + 5 = 19 5 078 → 5 + 0 + 7 + 8 = 20
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 1 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3 ; □ = 6 : 9
2 solutions : 210, 216.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 56 est pair mais 56 = 3 × 18 + 2.
« 8 est un diviseur de 234. » Faux. 234 = 8 × 29 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 16 + 5 × 7 = 16 + 35 = 51
B = 32 ÷ 4 × 2 = 8 × 2 = 16
C = (4 × 5 − 6) ÷ 4 = (20 − 6) ÷ 4 = 14 ÷ 4 = 3,5
D = 3 × [24 − (9 + 9)] = 3 × [24 − 18] = 3 × 6 = 18
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (2 × 5 + 8) = 5 × (10 + 8) = 5 × 18 = 90
7 × (4 + 2 × 5) = 7 × (4 + 10) = 7 × 14 = 98
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 47 × 99 = 47 × (100 − 1) = 47 × 100 − 47 × 1 = 4 700 − 47 = 4 653
F = 5 × 63 × 20 = 5 × 20 × 63 = 100 × 63 = 6 300
G = 3,6 × 0,7 + 3,6 × 0,3 = 3,6 × (0,7 + 0,3) = 3,6 × 1 = 3,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 3 × 3 × 3 = 3³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « (4 + 3)² = 4² + 3² » Faux. (4 + 3)² = 7² = 49, alors que 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 65 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 65 < 81 = 9²)
119 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 119 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 8 = 5 × 9 − 8 = 45 − 8 = 37
B = (5 × 3)² − 8 = 15² − 8 = 225 − 8 = 217
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : 2n³ = 2 × 6³ = 2 × 216 = 432
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 162 et 217. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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