Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
B = (2 + 1)² = 3² = 9
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 7.
D = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
E = 6 × (15 − 11) est un produit : c'est le produit de 6 par la différence entre 15 et 11.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 90 = 810 ≤ 812 < 819 = 9 × 91 : le quotient est 90, le reste 812 − 810 = 2.
812 = 9 × 90 + 2, avec 2 < 9.
22 × 105 = 2 310 ≤ 2 323 < 2 332 = 22 × 106 : le quotient est 105, le reste 2 323 − 2 310 = 13.
2 323 = 22 × 105 + 13, avec 13 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 286 = 12 × 23 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 286 = 12 × 24 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 286 = 12 × 22 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 23, reste 10.
Comme 10 < 23 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 286 par 23 : quotient 12, reste 10.
3. 32 = 3 × 10 + 2, avec 2 < 3
a) Chaque joueur reçoit 10 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 3 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 291 | non | oui | non | non | non |
| 5 193 | non | oui | non | oui | non |
| 1 970 | oui | non | oui | non | oui |
| 145 | non | non | oui | non | non |
| 6 046 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
291 → 2 + 9 + 1 = 12 5 193 → 5 + 1 + 9 + 3 = 18 1 970 → 1 + 9 + 7 + 0 = 17
145 → 1 + 4 + 5 = 10 6 046 → 6 + 0 + 4 + 6 = 16
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 2 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 6 ; □ = 5 : 9 ; □ = 8 : 12
3 solutions : 222, 252, 282.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 23 se termine par 3, mais 23 = 3 × 7 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 96 est un multiple de 6. » Vrai. 96 = 6 × 16 : le reste de la division de 96 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 69 − 3 × 5 = 69 − 15 = 54
B = 2 × 9 − 4 × 3 = 18 − 12 = 6
C = 94 − 2 × (18 − 4) = 94 − 2 × 14 = 94 − 28 = 66
D = [8 + 6 × (10 − 2)] ÷ 2 = [8 + 6 × 8] ÷ 2 = [8 + 48] ÷ 2 = 56 ÷ 2 = 28
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 − 4 + 4) × 6 = (4 + 4) × 6 = 8 × 6 = 48
8 × 7 − (9 − 7) = 8 × 7 − 2 = 56 − 2 = 54
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 63 + 5,05 + 37 = 63 + 37 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
F = 27 × 101 = 27 × (100 + 1) = 27 × 100 + 27 × 1 = 2 700 + 27 = 2 727
G = 2,7 × 0,4 + 2,7 × 0,6 = 2,7 × (0,4 + 0,6) = 2,7 × 1 = 2,7
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 2 × 2 × 2 = 2³ 10 × 10 = 10²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
36 = 6² : carré 60 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 60 < 64 = 8²)
93 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 93 < 100 = 10²) 117 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 117 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 5 = 4 × 16 − 5 = 64 − 5 = 59
B = (4 × 4)² − 5 = 16² − 5 = 256 − 5 = 251
C = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
D = (1 + 6)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 4 : n² + 2 = 4² + 2 = 16 + 2 = 18 et 3n = 3 × 4 = 12.
18 ≠ 12 : l'égalité est fausse pour n = 4.
Pour n = 1 : n² + 2 = 1² + 2 = 1 + 2 = 3 et 3n = 3 × 1 = 3.
3 = 3 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 2, et seulement pour 1 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 81 : 9 × 9 = 81, c'est-à-dire 9² = 81.
a) Le côté mesure 9 m.
4 × 9 = 36
b) Le périmètre est de 36 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 82 et 126. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 0. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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