Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (1 + 5)² = 6² = 36
B = 1² + 5² = 1 + 25 = 26
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
D = 4 × 4² − 16 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 4 et 16.
E = (18 + 6) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 18 et 6 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 20 = 140 ≤ 142 < 147 = 7 × 21 : le quotient est 20, le reste 142 − 140 = 2.
142 = 7 × 20 + 2, avec 2 < 7.
19 × 76 = 1 444 ≤ 1 452 < 1 463 = 19 × 77 : le quotient est 76, le reste 1 452 − 1 444 = 8.
1 452 = 19 × 76 + 8, avec 8 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 106 = 12 × 7 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(b) 106 = 12 × 8 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 12. ✔
(c) 106 = 12 × 9 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 8, reste 10.
3. 46 = 9 × 5 + 1
5 minibus pleins transportent 45 élèves ; il en reste 1 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 1 = 8 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 090 | oui | oui | oui | non | oui |
| 147 | non | oui | non | non | non |
| 5 139 | non | oui | non | oui | non |
| 9 872 | oui | non | non | non | non |
| 895 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
3 090 → 3 + 0 + 9 + 0 = 12 147 → 1 + 4 + 7 = 12 5 139 → 5 + 1 + 3 + 9 = 18
9 872 → 9 + 8 + 7 + 2 = 26 895 → 8 + 9 + 5 = 22
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 3 + 3 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 6 : 12
2 solutions : 330, 336.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 414, somme des chiffres 9.
« 120 est un multiple de 6. » Vrai. 120 = 6 × 20 : le reste de la division de 120 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 6 + 8 × 3 = 6 + 24 = 30
B = 8 ÷ 2 × 3 = 4 × 3 = 12
C = (6 × 9 − 4) ÷ 4 = (54 − 4) ÷ 4 = 50 ÷ 4 = 12,5
D = [9 + 3 × (6 − 3)] ÷ 2 = [9 + 3 × 3] ÷ 2 = [9 + 9] ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (8 − 5) − 6 = 8 × 3 − 6 = 24 − 6 = 18
4 × (3 × 3 − 6) = 4 × (9 − 6) = 4 × 3 = 12
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 47 × 101 = 47 × (100 + 1) = 47 × 100 + 47 × 1 = 4 700 + 47 = 4 747
F = 2 × 36 × 5 = 2 × 5 × 36 = 10 × 36 = 360
G = 4,5 × 1,3 + 4,5 × 8,7 = 4,5 × (1,3 + 8,7) = 4,5 × 10 = 45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 4 × 4 × 4 = 4³ 3 × 3 = 3²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 29 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 29 < 36 = 6²)
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
100 = 10² : carré 149 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 149 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 9 = 4 × 25 − 9 = 100 − 9 = 91
B = (4 × 5)² − 9 = 20² − 9 = 400 − 9 = 391
C = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
D = (5 + 1)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : 2a³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour a = 10 : 2a³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 52 :
7² = 49 ≤ 52 et 8² = 64 > 52.
a) Elle mettra 7 dalles sur chaque côté.
52 − 49 = 3
b) Il lui restera 3 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 115 et 178. » → encore 62 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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