Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 9 + 6 × 8 = 9 + 48 = 57
B = (9 + 6) × 8 = 15 × 8 = 120
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6 + 7 × 8 est une somme : c'est la somme de 6 et du produit de 7 par 8.
D = (8 + 9) × 6 est un produit : c'est le produit de la somme de 8 et 9 par 6.
E = 2 × 9² − 3 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 9 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 17 = 102 ≤ 105 < 108 = 6 × 18 : le quotient est 17, le reste 105 − 102 = 3.
105 = 6 × 17 + 3, avec 3 < 6.
21 × 45 = 945 ≤ 963 < 966 = 21 × 46 : le quotient est 45, le reste 963 − 945 = 18.
963 = 21 × 45 + 18, avec 18 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 417 = 11 × 38 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 417 = 11 × 37 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 417 = 11 × 36 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 37, reste 10.
Comme 10 < 37 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 417 par 37 : quotient 11, reste 10.
3. 108 = 5 × 21 + 3, avec 3 < 5
a) Chaque joueur reçoit 21 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 938 | oui | non | non | non | non |
| 5 553 | non | oui | non | oui | non |
| 9 350 | oui | non | oui | non | oui |
| 785 | non | non | oui | non | non |
| 951 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 938 → 3 + 9 + 3 + 8 = 23 5 553 → 5 + 5 + 5 + 3 = 18 9 350 → 9 + 3 + 5 + 0 = 17
785 → 7 + 8 + 5 = 20 951 → 9 + 5 + 1 = 15
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 8 = 13 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 558.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 252 est un multiple de 9. » Vrai. 252 = 9 × 28 : le reste de la division de 252 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 72 − 4 × 7 = 72 − 28 = 44
B = 6 × 6 − 5 × 5 = 36 − 25 = 11
C = (9 + 6) × 5 − 4 = 15 × 5 − 4 = 75 − 4 = 71
D = 1,4 + 4 × 1,2 = 1,4 + 4,8 = 6,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × 7 × (6 − 4) = 6 × 7 × 2 = 42 × 2 = 84
3 × (5 × 2 − 6) = 3 × (10 − 6) = 3 × 4 = 12
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 15 + 0,75 + 85 = 15 + 85 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
G = 32 × 9 = 32 × (10 − 1) = 32 × 10 − 32 × 1 = 320 − 32 = 288
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 3 × 3 × 3 = 3³ 4 × 4 = 4²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 11² = 11 × 11 = 121 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²) 81 = 9² : carré
113 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 113 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
128 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 128 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 1 = 3 × 25 − 1 = 75 − 1 = 74
B = (3 × 5)² − 1 = 15² − 1 = 225 − 1 = 224
C = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
D = (7 + 6)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 10 = 1² + 10 = 1 + 10 = 11 et 7x = 7 × 1 = 7.
11 ≠ 7 : l'égalité est fausse pour x = 1.
Pour x = 2 : x² + 10 = 2² + 10 = 4 + 10 = 14 et 7x = 7 × 2 = 14.
14 = 14 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 2 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 32 et 82. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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