Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
B = (3 + 6)² = 9² = 81
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9² − 42 est une différence : c'est la différence entre le carré de 9 et 42.
D = 2 + 9 × 3 est une somme : c'est la somme de 2 et du produit de 9 par 3.
E = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 130 = 780 ≤ 782 < 786 = 6 × 131 : le quotient est 130, le reste 782 − 780 = 2.
782 = 6 × 130 + 2, avec 2 < 6.
24 × 28 = 672 ≤ 678 < 696 = 24 × 29 : le quotient est 28, le reste 678 − 672 = 6.
678 = 24 × 28 + 6, avec 6 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 233 = 11 × 21 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 233 = 11 × 22 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 233 = 11 × 20 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 21, reste 2.
Comme 2 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 233 par 21 : quotient 11, reste 2.
3. 52 = 8 × 6 + 4, avec 4 < 8
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 8 452 | oui | non | non | non | non |
| 295 | non | non | oui | non | non |
| 6 610 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 627 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
777 → 7 + 7 + 7 = 21 8 452 → 8 + 4 + 5 + 2 = 19 295 → 2 + 9 + 5 = 16
6 610 → 6 + 6 + 1 + 0 = 13 3 627 → 3 + 6 + 2 + 7 = 18
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 4 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 9 ; □ = 9 : 18
2 solutions : 504, 594.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 12 est divisible par 3 (12 = 3 × 4) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 66 est un multiple de 3. » Vrai. 66 = 3 × 22 : le reste de la division de 66 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 27 + 4 × 8 = 27 + 32 = 59
B = 15 + 28 ÷ 7 × 2 = 15 + 4 × 2 = 15 + 8 = 23
C = 59 − 5 × (11 − 6) = 59 − 5 × 5 = 59 − 25 = 34
D = [7 + 5 × (9 − 1)] ÷ 2 = [7 + 5 × 8] ÷ 2 = [7 + 40] ÷ 2 = 47 ÷ 2 = 23,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (8 + 8) + 2 = 6 × 16 + 2 = 96 + 2 = 98
9 − 3 − (2 + 3) = 9 − 3 − 5 = 6 − 5 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 19 × 11 = 19 × (10 + 1) = 19 × 10 + 19 × 1 = 190 + 19 = 209
F = 4,5 × 0,4 + 4,5 × 0,6 = 4,5 × (0,4 + 0,6) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 4 × 96 × 25 = 4 × 25 × 96 = 100 × 96 = 9 600
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 = 3² 4 × 4 × 4 = 4³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
« (3 + 1)² = 3² + 1² » Faux. (3 + 1)² = 4² = 16, alors que 3² + 1² = 9 + 1 = 10.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 35 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 35 < 36 = 6²)
36 = 6² : carré 109 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 109 < 121 = 11²)
133 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 133 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 7 = 4 × 4 − 7 = 16 − 7 = 9
B = (4 × 2)² − 7 = 8² − 7 = 64 − 7 = 57
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 5 : x³ + 4 = 5³ + 4 = 125 + 4 = 129
Pour x = 10 : x³ + 4 = 10³ + 4 = 1 000 + 4 = 1 004
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 84 et 151. » → encore 66 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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