Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 + 4)² = 6² = 36
B = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 10) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 2 et 10 par 4.
D = (4 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 4 et 7.
E = 3² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 59 = 472 ≤ 477 < 480 = 8 × 60 : le quotient est 59, le reste 477 − 472 = 5.
477 = 8 × 59 + 5, avec 5 < 8.
14 × 73 = 1 022 ≤ 1 027 < 1 036 = 14 × 74 : le quotient est 73, le reste 1 027 − 1 022 = 5.
1 027 = 14 × 73 + 5, avec 5 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 512 = 13 × 40 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 512 = 13 × 39 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 13. ✔
(c) 512 = 13 × 38 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 39, reste 5.
Comme 5 < 39 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 512 par 39 : quotient 13, reste 5.
3. 258 = 7 × 36 + 6
a) 258 jours font 36 semaines complètes et 6 jours.
Après 36 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 6 jours : dimanche → lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 258 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 230 | oui | oui | oui | non | oui |
| 125 | non | non | oui | non | non |
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 1 143 | non | oui | non | oui | non |
| 1 744 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
1 230 → 1 + 2 + 3 + 0 = 6 125 → 1 + 2 + 5 = 8 681 → 6 + 8 + 1 = 15
1 143 → 1 + 1 + 4 + 3 = 9 1 744 → 1 + 7 + 4 + 4 = 16
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 8 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 9 ; □ = 9 : 18
2 solutions : 108, 198.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 8 est un diviseur de 144. » Vrai. 144 = 8 × 18 : le reste de la division de 144 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 18 + 6 × 6 = 18 + 36 = 54
B = 6 × 2 − 2 × 5 = 12 − 10 = 2
C = 89 − 3 × (17 − 9) = 89 − 3 × 8 = 89 − 24 = 65
D = 3,8 + 4 × 0,5 = 3,8 + 2 = 5,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (9 + 3 + 5) = 4 × (12 + 5) = 4 × 17 = 68
5 + 7 × (7 + 7) = 5 + 7 × 14 = 5 + 98 = 103
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 0,7 + 1,5 × 0,3 = 1,5 × (0,7 + 0,3) = 1,5 × 1 = 1,5
F = 16 × 99 = 16 × (100 − 1) = 16 × 100 − 16 × 1 = 1 600 − 16 = 1 584
G = 55 + 12,6 + 45 = 55 + 45 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 3 × 3 = 3² 2,5 × 2,5 = 2,5²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 11² = 11 × 11 = 121 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 5² = 10 » Faux. 5² = 5 × 5 = 25. L'exposant ne multiplie pas : 5 × 2 = 10, c'est le double.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 31 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 31 < 36 = 6²)
49 = 7² : carré 138 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 138 < 144 = 12²)
142 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 142 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 6 = 2 × 16 − 6 = 32 − 6 = 26
B = (2 × 4)² − 6 = 8² − 6 = 64 − 6 = 58
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 2 : (x + 8)² = (2 + 8)² = 10² = 100
Pour x = 0,5 : (x + 8)² = (0,5 + 8)² = 8,5² = 72,25
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 30 :
5² = 25 ≤ 30 et 6² = 36 > 30.
a) Elle mettra 5 dalles sur chaque côté.
30 − 25 = 5
b) Il lui restera 5 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 165 et 221. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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