Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 10 + 8 × 9 = 10 + 72 = 82
B = (10 + 8) × 9 = 18 × 9 = 162
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
D = 22 − 5 × 3 est une différence : c'est la différence entre 22 et le produit de 5 par 3.
E = (44 + 12) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 44 et 12 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 210 = 630 ≤ 631 < 633 = 3 × 211 : le quotient est 210, le reste 631 − 630 = 1.
631 = 3 × 210 + 1, avec 1 < 3.
11 × 49 = 539 ≤ 541 < 550 = 11 × 50 : le quotient est 49, le reste 541 − 539 = 2.
541 = 11 × 49 + 2, avec 2 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 98 = 11 × 9 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 98 = 11 × 7 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 98 = 11 × 8 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 8, reste 10.
3. 40 = 12 × 3 + 4, avec 4 < 12
a) Elle remplit 3 boîtes pleines.
b) Il reste 4 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 758 | oui | non | non | non | non |
| 7 000 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 129 | non | oui | non | oui | non |
| 807 | non | oui | non | non | non |
| 965 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
5 758 → 5 + 7 + 5 + 8 = 25 7 000 → 7 + 0 + 0 + 0 = 7 6 129 → 6 + 1 + 2 + 9 = 18
807 → 8 + 0 + 7 = 15 965 → 9 + 6 + 5 = 20
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 6 + 4 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 8 : 18
2 solutions : 642, 648.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 3 est un diviseur de 64. » Faux. 64 = 3 × 21 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 + 9 × 3 = 24 + 27 = 51
B = 2 + 10 ÷ 2 × 3 = 2 + 5 × 3 = 2 + 15 = 17
C = (5 + 8) × 3 − 20 = 13 × 3 − 20 = 39 − 20 = 19
D = 3 × [29 − (8 + 9)] = 3 × [29 − 17] = 3 × 12 = 36
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 − 2 + 3) × 8 = (7 + 3) × 8 = 10 × 8 = 80
6 + (5 + 6) × 3 = 6 + 11 × 3 = 6 + 33 = 39
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 85 × 50 = 2 × 50 × 85 = 100 × 85 = 8 500
F = 19 × 99 = 19 × (100 − 1) = 19 × 100 − 19 × 1 = 1 900 − 19 = 1 881
G = 42 × 59 − 42 × 49 = 42 × (59 − 49) = 42 × 10 = 420
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 4 × 4 × 4 = 4³ 6 × 6 = 6²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « (2 + 1)² = 2² + 1² » Faux. (2 + 1)² = 3² = 9, alors que 2² + 1² = 4 + 1 = 5.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
34 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 34 < 36 = 6²) 49 = 7² : carré
113 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 113 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
136 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 136 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 4 = 3 × 4 − 4 = 12 − 4 = 8
B = (3 × 2)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
C = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
D = (6 + 3)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 6 : n² + 30 = 6² + 30 = 36 + 30 = 66 et 11n = 11 × 6 = 66.
66 = 66 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Pour n = 3 : n² + 30 = 3² + 30 = 9 + 30 = 39 et 11n = 11 × 3 = 33.
39 ≠ 33 : l'égalité est fausse pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 6 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 81 : 9 × 9 = 81, c'est-à-dire 9² = 81.
a) Le côté mesure 9 m.
4 × 9 = 36
b) Le périmètre est de 36 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 47 et 99. » → encore 51 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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