Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
B = (3 + 2)² = 5² = 25
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 × 8² − 16 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 8 et 16.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = 13 + 24 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 13 et du quotient de 24 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 60 = 300 ≤ 303 < 305 = 5 × 61 : le quotient est 60, le reste 303 − 300 = 3.
303 = 5 × 60 + 3, avec 3 < 5.
21 × 101 = 2 121 ≤ 2 138 < 2 142 = 21 × 102 : le quotient est 101, le reste 2 138 − 2 121 = 17.
2 138 = 21 × 101 + 17, avec 17 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 144 = 7 × 20 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 7. ✔
(b) 144 = 7 × 21 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 144 = 7 × 19 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 20, reste 4.
Comme 4 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 144 par 20 : quotient 7, reste 4.
3. 117 = 16 × 7 + 5
7 minibus pleins transportent 112 élèves ; il en reste 5 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 7 + 1 = 8 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 5 = 11 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 754 | oui | non | non | non | non |
| 6 093 | non | oui | non | oui | non |
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 4 610 | oui | non | oui | non | oui |
| 685 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
9 754 → 9 + 7 + 5 + 4 = 25 6 093 → 6 + 0 + 9 + 3 = 18 777 → 7 + 7 + 7 = 21
4 610 → 4 + 6 + 1 + 0 = 11 685 → 6 + 8 + 5 = 19
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 2 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 252.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 981, somme des chiffres 18.
« 7 est un diviseur de 154. » Vrai. 154 = 7 × 22 : le reste de la division de 154 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 6 + 6 × 9 = 6 + 54 = 60
B = 2 + 24 ÷ 4 × 2 = 2 + 6 × 2 = 2 + 12 = 14
C = 92 − 3 × (12 − 8) = 92 − 3 × 4 = 92 − 12 = 80
D = 5,5 + 5 × 0,2 = 5,5 + 1 = 6,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 + 2) × 2 + 2 = 11 × 2 + 2 = 22 + 2 = 24
8 − (5 + 4 − 7) = 8 − (9 − 7) = 8 − 2 = 6
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,7 + 12,5 × 0,3 = 12,5 × (0,7 + 0,3) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 8 × 93 × 125 = 8 × 125 × 93 = 1 000 × 93 = 93 000
G = 13 × 99 = 13 × (100 − 1) = 13 × 100 − 13 × 1 = 1 300 − 13 = 1 287
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 10 × 10 = 10²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
100 = 10² : carré 131 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 131 < 144 = 12²)
133 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 133 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 9 = 5 × 36 − 9 = 180 − 9 = 171
B = (5 × 6)² − 9 = 30² − 9 = 900 − 9 = 891
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 1 = 3 × 5² − 1 = 3 × 25 − 1 = 75 − 1 = 74
B = (3x)² − 1 = (3 × 5)² − 1 = 15² − 1 = 225 − 1 = 224
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 64 : 8 × 8 = 64, c'est-à-dire 8² = 64.
a) Le côté mesure 8 m.
4 × 8 = 32
b) Le périmètre est de 32 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 13 et 67. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 27, 64.
« Mon chiffre des unités est 7. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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