Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 14) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9
B = 4 + 14 ÷ 2 = 4 + 7 = 11
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × 3² − 18 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 3 et 18.
D = 15 + 7 × 2 est une somme : c'est la somme de 15 et du produit de 7 par 2.
E = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 75 = 525 ≤ 526 < 532 = 7 × 76 : le quotient est 75, le reste 526 − 525 = 1.
526 = 7 × 75 + 1, avec 1 < 7.
13 × 25 = 325 ≤ 335 < 338 = 13 × 26 : le quotient est 25, le reste 335 − 325 = 10.
335 = 13 × 25 + 10, avec 10 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 243 = 6 × 39 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 243 = 6 × 41 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 243 = 6 × 40 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 6. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 40, reste 3.
Comme 3 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 243 par 40 : quotient 6, reste 3.
3. 82 = 12 × 6 + 10
6 minibus pleins transportent 72 élèves ; il en reste 10 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 12 − 10 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 5 908 | oui | non | non | non | non |
| 455 | non | non | oui | non | non |
| 4 560 | oui | oui | oui | non | oui |
| 3 609 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
417 → 4 + 1 + 7 = 12 5 908 → 5 + 9 + 0 + 8 = 22 455 → 4 + 5 + 5 = 14
4 560 → 4 + 5 + 6 + 0 = 15 3 609 → 3 + 6 + 0 + 9 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 3 + □ = 11 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 15
Une seule solution : 834.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 53 se termine par 3, mais 53 = 3 × 17 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 3 est un diviseur de 78. » Vrai. 78 = 3 × 26 : le reste de la division de 78 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 60 − 5 × 3 = 60 − 15 = 45
B = 4 × 4 − 4 × 3 = 16 − 12 = 4
C = (4 + 5) × 4 − 4 = 9 × 4 − 4 = 36 − 4 = 32
D = 2 × [28 − (9 + 5)] = 2 × [28 − 14] = 2 × 14 = 28
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 6) × 9 + 7 = 8 × 9 + 7 = 72 + 7 = 79
9 × (2 × 3 + 2) = 9 × (6 + 2) = 9 × 8 = 72
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 18 × 99 = 18 × (100 − 1) = 18 × 100 − 18 × 1 = 1 800 − 18 = 1 782
F = 3,6 × 1,3 + 3,6 × 8,7 = 3,6 × (1,3 + 8,7) = 3,6 × 10 = 36
G = 5 × 33 × 20 = 5 × 20 × 33 = 100 × 33 = 3 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 11 × 11 = 11² 0,7 × 0,7 = 0,7²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²) 49 = 7² : carré
100 = 10² : carré 118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 145 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 145 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 3 = 4 × 16 − 3 = 64 − 3 = 61
B = (4 × 4)² − 3 = 16² − 3 = 256 − 3 = 253
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 8 : n² + 8 = 8² + 8 = 64 + 8 = 72 et 6n = 6 × 8 = 48.
72 ≠ 48 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Pour n = 2 : n² + 8 = 2² + 8 = 4 + 8 = 12 et 6n = 6 × 2 = 12.
12 = 12 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 2 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 14 et 56. » → encore 41 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16, 36.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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