Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (24 + 24) ÷ 3 = 48 ÷ 3 = 16
B = 24 + 24 ÷ 3 = 24 + 8 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9² + 2² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 2.
D = (8 + 6) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 8 et 6 par 2.
E = 2 × 4² − 1 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 4 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 113 = 678 ≤ 680 < 684 = 6 × 114 : le quotient est 113, le reste 680 − 678 = 2.
680 = 6 × 113 + 2, avec 2 < 6.
23 × 66 = 1 518 ≤ 1 536 < 1 541 = 23 × 67 : le quotient est 66, le reste 1 536 − 1 518 = 18.
1 536 = 23 × 66 + 18, avec 18 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 407 = 13 × 30 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(b) 407 = 13 × 31 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 13. ✔
(c) 407 = 13 × 32 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 31, reste 4.
Comme 4 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 407 par 31 : quotient 13, reste 4.
3. 108 = 15 × 7 + 3
7 minibus pleins transportent 105 élèves ; il en reste 3 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 7 + 1 = 8 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 3 = 12 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 652 | oui | non | non | non | non |
| 485 | non | non | oui | non | non |
| 3 110 | oui | non | oui | non | oui |
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 6 939 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
6 652 → 6 + 6 + 5 + 2 = 19 485 → 4 + 8 + 5 = 17 3 110 → 3 + 1 + 1 + 0 = 5
897 → 8 + 9 + 7 = 24 6 939 → 6 + 9 + 3 + 9 = 27
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 9 + □ = 17 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 21
Une seule solution : 894.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 152 est un multiple de 8. » Vrai. 152 = 8 × 19 : le reste de la division de 152 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 33 − 6 + 7 = 27 + 7 = 34
B = 8 × 6 − 3 × 5 = 48 − 15 = 33
C = (9 + 8) × 2 − 12 = 17 × 2 − 12 = 34 − 12 = 22
D = [5 + 2 × (11 − 5)] ÷ 5 = [5 + 2 × 6] ÷ 5 = [5 + 12] ÷ 5 = 17 ÷ 5 = 3,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (3 + 6) + 8 = 8 × 9 + 8 = 72 + 8 = 80
(3 + 8 − 3) × 2 = (11 − 3) × 2 = 8 × 2 = 16
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 47 × 11 = 47 × (10 + 1) = 47 × 10 + 47 × 1 = 470 + 47 = 517
F = 4 × 94 × 25 = 4 × 25 × 94 = 100 × 94 = 9 400
G = 48 × 80 − 48 × 70 = 48 × (80 − 70) = 48 × 10 = 480
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 10 × 10 = 10² 4 × 4 × 4 = 4³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 102 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 102 < 121 = 11²)
126 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 126 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 2 = 4 × 16 − 2 = 64 − 2 = 62
B = (4 × 4)² − 2 = 16² − 2 = 256 − 2 = 254
C = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
D = (6 + 4)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : (n + 5)² = (6 + 5)² = 11² = 121
Pour n = 0,5 : (n + 5)² = (0,5 + 5)² = 5,5² = 30,25
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 8² = π × 64 = 64π
a) L'aire exacte est 64π m².
64 × 3,14 = 200,96
b) L'aire vaut environ 201 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 8², et non (π × 8)². On élève 8 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 2 et 44. » → encore 41 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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