Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (42 + 30) ÷ 6 = 72 ÷ 6 = 12
B = 42 + 30 ÷ 6 = 42 + 5 = 47
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
D = (1 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 7.
E = 11 + 4 × 9 est une somme : c'est la somme de 11 et du produit de 4 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 116 = 812 ≤ 817 < 819 = 7 × 117 : le quotient est 116, le reste 817 − 812 = 5.
817 = 7 × 116 + 5, avec 5 < 7.
12 × 38 = 456 ≤ 458 < 468 = 12 × 39 : le quotient est 38, le reste 458 − 456 = 2.
458 = 12 × 38 + 2, avec 2 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 293 = 9 × 31 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 293 = 9 × 33 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 293 = 9 × 32 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 9. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 32, reste 5.
Comme 5 < 32 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 293 par 32 : quotient 9, reste 5.
3. 62 = 16 × 3 + 14
3 minibus pleins transportent 48 élèves ; il en reste 14 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 14 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 365 | non | non | oui | non | non |
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 8 610 | oui | oui | oui | non | oui |
| 4 126 | oui | non | non | non | non |
| 9 621 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
365 → 3 + 6 + 5 = 14 627 → 6 + 2 + 7 = 15 8 610 → 8 + 6 + 1 + 0 = 15
4 126 → 4 + 1 + 2 + 6 = 13 9 621 → 9 + 6 + 2 + 1 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 3 + □ = 4 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 6 ; □ = 8 : 12
2 solutions : 132, 138.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 108, somme des chiffres 9.
« 240 est un multiple de 8. » Vrai. 240 = 8 × 30 : le reste de la division de 240 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 − 4 + 14 = 20 + 14 = 34
B = 9 + 54 ÷ 9 × 2 = 9 + 6 × 2 = 9 + 12 = 21
C = (7 × 4 − 1) ÷ 5 = (28 − 1) ÷ 5 = 27 ÷ 5 = 5,4
D = 2 × [28 − (7 + 3)] = 2 × [28 − 10] = 2 × 18 = 36
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 + (6 + 2) × 7 = 6 + 8 × 7 = 6 + 56 = 62
6 × (6 × 5 − 9) = 6 × (30 − 9) = 6 × 21 = 126
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 1,3 + 4,5 × 8,7 = 4,5 × (1,3 + 8,7) = 4,5 × 10 = 45
F = 12 × 9 = 12 × (10 − 1) = 12 × 10 − 12 × 1 = 120 − 12 = 108
G = 5 × 64 × 20 = 5 × 20 × 64 = 100 × 64 = 6 400
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 5 × 5 × 5 = 5³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 12² = 12 × 12 = 144 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
101 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 101 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 2 = 3 × 16 − 2 = 48 − 2 = 46
B = (3 × 4)² − 2 = 12² − 2 = 144 − 2 = 142
C = 7² + 1² = 49 + 1 = 50
D = (7 + 1)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 4 : (n + 6)² = (4 + 6)² = 10² = 100
Pour n = 10 : (n + 6)² = (10 + 6)² = 16² = 256
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 56 et 94. » → encore 37 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.