Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 7² + 1² = 49 + 1 = 50
B = (7 + 1)² = 8² = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 11 − 2 × 2 est une différence : c'est la différence entre 11 et le produit de 2 par 2.
D = 10 + 9 × 4 est une somme : c'est la somme de 10 et du produit de 9 par 4.
E = 5 × (14 − 6) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 14 et 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 95 = 855 ≤ 861 < 864 = 9 × 96 : le quotient est 95, le reste 861 − 855 = 6.
861 = 9 × 95 + 6, avec 6 < 9.
16 × 114 = 1 824 ≤ 1 836 < 1 840 = 16 × 115 : le quotient est 114, le reste 1 836 − 1 824 = 12.
1 836 = 16 × 114 + 12, avec 12 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 115 = 8 × 13 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 115 = 8 × 14 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 115 = 8 × 15 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 14, reste 3.
Comme 3 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 115 par 14 : quotient 8, reste 3.
3. 31 = 7 × 4 + 3
a) 31 jours font 4 semaines complètes et 3 jours.
Après 4 semaines complètes, on est de nouveau samedi. Il reste à avancer de 3 jours : samedi → dimanche → lundi → mardi.
b) Dans 31 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 460 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 602 | oui | non | non | non | non |
| 4 113 | non | oui | non | oui | non |
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 835 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
9 460 → 9 + 4 + 6 + 0 = 19 2 602 → 2 + 6 + 0 + 2 = 10 4 113 → 4 + 1 + 1 + 3 = 9
681 → 6 + 8 + 1 = 15 835 → 8 + 3 + 5 = 16
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 0 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 3 : 12 ; □ = 6 : 15 ; □ = 9 : 18
4 solutions : 900, 930, 960, 990.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 9 est un diviseur de 194. » Faux. 194 = 9 × 21 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 8 + 6 × 4 = 8 + 24 = 32
B = 5 × 5 − 3 × 3 = 25 − 9 = 16
C = 82 − 3 × (17 − 3) = 82 − 3 × 14 = 82 − 42 = 40
D = [2 + 7 × (12 − 4)] ÷ 2 = [2 + 7 × 8] ÷ 2 = [2 + 56] ÷ 2 = 58 ÷ 2 = 29
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + 5 − (3 + 9) = 9 + 5 − 12 = 14 − 12 = 2
(2 + 8) × 3 × 4 = 10 × 3 × 4 = 30 × 4 = 120
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 30 × 25 = 4 × 25 × 30 = 100 × 30 = 3 000
F = 36 × 99 = 36 × (100 − 1) = 36 × 100 − 36 × 1 = 3 600 − 36 = 3 564
G = 34 × 41 − 34 × 31 = 34 × (41 − 31) = 34 × 10 = 340
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 3 × 3 = 3² 6 × 6 × 6 = 6³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 92 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 92 < 100 = 10²)
97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 8 = 5 × 16 − 8 = 80 − 8 = 72
B = (5 × 4)² − 8 = 20² − 8 = 400 − 8 = 392
C = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
D = (7 + 5)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 4 : 6a² = 6 × 4² = 6 × 16 = 96
Pour a = 0,5 : 6a² = 6 × 0,5² = 6 × 0,25 = 1,5
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 81 : 9 × 9 = 81, c'est-à-dire 9² = 81.
a) Le côté mesure 9 m.
4 × 9 = 36
b) Le périmètre est de 36 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 216 et 264. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 225, 256.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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