Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 5)² = 10² = 100
B = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 26 − 5 × 3 est une différence : c'est la différence entre 26 et le produit de 5 par 3.
D = 15 + 4 ÷ 2 est une somme : c'est la somme de 15 et du quotient de 4 par 2.
E = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 253 = 759 ≤ 761 < 762 = 3 × 254 : le quotient est 253, le reste 761 − 759 = 2.
761 = 3 × 253 + 2, avec 2 < 3.
26 × 25 = 650 ≤ 674 < 676 = 26 × 26 : le quotient est 25, le reste 674 − 650 = 24.
674 = 26 × 25 + 24, avec 24 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 204 = 9 × 22 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 204 = 9 × 23 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 204 = 9 × 21 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 22, reste 6.
Comme 6 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 204 par 22 : quotient 9, reste 6.
3. 151 = 20 × 7 + 11
En 7 soirs, elle lit 140 pages ; il lui en reste encore 11.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 11 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 327 | non | oui | non | non | non |
| 445 | non | non | oui | non | non |
| 3 116 | oui | non | non | non | non |
| 2 673 | non | oui | non | oui | non |
| 1 390 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
327 → 3 + 2 + 7 = 12 445 → 4 + 4 + 5 = 13 3 116 → 3 + 1 + 1 + 6 = 11
2 673 → 2 + 6 + 7 + 3 = 18 1 390 → 1 + 3 + 9 + 0 = 13
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 8 = 16 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 18 ; □ = 5 : 21 ; □ = 8 : 24
3 solutions : 828, 858, 888.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 80 est pair mais 80 = 3 × 26 + 2.
« 184 est un multiple de 7. » Faux. 184 = 7 × 26 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 52 − 2 × 5 = 52 − 10 = 42
B = 4 × 7 − 4 × 3 = 28 − 12 = 16
C = 58 − 2 × (10 − 8) = 58 − 2 × 2 = 58 − 4 = 54
D = [6 + 8 × (7 − 4)] ÷ 2 = [6 + 8 × 3] ÷ 2 = [6 + 24] ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + (3 + 6) × 4 = 5 + 9 × 4 = 5 + 36 = 41
(7 + 8 + 7) × 7 = (15 + 7) × 7 = 22 × 7 = 154
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
F = 28 × 9 = 28 × (10 − 1) = 28 × 10 − 28 × 1 = 280 − 28 = 252
G = 13 + 0,75 + 87 = 13 + 87 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 3 × 3 = 3²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 10² = 10 × 10 = 100 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 38 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 38 < 49 = 7²)
80 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 80 < 81 = 9²) 84 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 84 < 100 = 10²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 8 = 3 × 36 − 8 = 108 − 8 = 100
B = (3 × 6)² − 8 = 18² − 8 = 324 − 8 = 316
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 5 : n³ + 9 = 5³ + 9 = 125 + 9 = 134
Pour n = 10 : n³ + 9 = 10³ + 9 = 1 000 + 9 = 1 009
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 224 et 261. » → encore 36 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 225, 256.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 256.
Le nombre mystère est 256 (256 = 16²).
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