Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (12 + 6) × 6 = 18 × 6 = 108
B = 12 + 6 × 6 = 12 + 36 = 48
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (7 + 7) × 3 est un produit : c'est le produit de la somme de 7 et 7 par 3.
D = (4 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 4 et 7.
E = 2 × 6² − 20 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 6 et 20.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 28 = 252 ≤ 255 < 261 = 9 × 29 : le quotient est 28, le reste 255 − 252 = 3.
255 = 9 × 28 + 3, avec 3 < 9.
22 × 83 = 1 826 ≤ 1 828 < 1 848 = 22 × 84 : le quotient est 83, le reste 1 828 − 1 826 = 2.
1 828 = 22 × 83 + 2, avec 2 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 182 = 8 × 21 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 182 = 8 × 22 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 182 = 8 × 23 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 22, reste 6.
Comme 6 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 182 par 22 : quotient 8, reste 6.
3. 100 = 12 × 8 + 4
8 minibus pleins transportent 96 élèves ; il en reste 4 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 8 + 1 = 9 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 12 − 4 = 8 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 153 | non | oui | non | oui | non |
| 831 | non | oui | non | non | non |
| 7 198 | oui | non | non | non | non |
| 4 450 | oui | non | oui | non | oui |
| 755 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
9 153 → 9 + 1 + 5 + 3 = 18 831 → 8 + 3 + 1 = 12 7 198 → 7 + 1 + 9 + 8 = 25
4 450 → 4 + 4 + 5 + 0 = 13 755 → 7 + 5 + 5 = 17
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 3 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 2 : 9
Une seule solution : 423.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 48 est divisible par 3 (48 = 3 × 16) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 7 est un diviseur de 188. » Faux. 188 = 7 × 26 + 6 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 23 + 4 × 4 = 23 + 16 = 39
B = 42 ÷ 7 × 3 = 6 × 3 = 18
C = 65 − 2 × (20 − 9) = 65 − 2 × 11 = 65 − 22 = 43
D = 2,6 + 6 × 2,5 = 2,6 + 15 = 17,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(7 + 6) × 6 + 8 = 13 × 6 + 8 = 78 + 8 = 86
6 − (3 + 8 − 6) = 6 − (11 − 6) = 6 − 5 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,4 + 12,5 × 0,6 = 12,5 × (0,4 + 0,6) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 28 × 99 = 28 × (100 − 1) = 28 × 100 − 28 × 1 = 2 800 − 28 = 2 772
G = 11 + 0,75 + 89 = 11 + 89 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 3 × 3 = 3² 2,5 × 2,5 = 2,5²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 3² = 1 + 9 = 10, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 15 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 15 < 16 = 4²)
16 = 4² : carré 50 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 50 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 9 = 5 × 16 − 9 = 80 − 9 = 71
B = (5 × 4)² − 9 = 20² − 9 = 400 − 9 = 391
C = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
D = (6 + 1)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 5 : x³ + 4 = 5³ + 4 = 125 + 4 = 129
Pour x = 10 : x³ + 4 = 10³ + 4 = 1 000 + 4 = 1 004
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 67. » → encore 65 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27, 64.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.