Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 12 − 2 × 5 = 12 − 10 = 2
B = (12 − 2) × 5 = 10 × 5 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
D = 3 × (18 − 10) est un produit : c'est le produit de 3 par la différence entre 18 et 10.
E = (6 + 10) ÷ 2 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 6 et 10 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 81 = 648 ≤ 649 < 656 = 8 × 82 : le quotient est 81, le reste 649 − 648 = 1.
649 = 8 × 81 + 1, avec 1 < 8.
27 × 14 = 378 ≤ 400 < 405 = 27 × 15 : le quotient est 14, le reste 400 − 378 = 22.
400 = 27 × 14 + 22, avec 22 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 305 = 8 × 39 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 305 = 8 × 38 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 305 = 8 × 37 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 38, reste 1.
Comme 1 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 305 par 38 : quotient 8, reste 1.
3. 62 = 12 × 5 + 2, avec 2 < 12
a) Elle remplit 5 boîtes pleines.
b) Il reste 2 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 267 | non | oui | non | non | non |
| 4 920 | oui | oui | oui | non | oui |
| 3 388 | oui | non | non | non | non |
| 6 831 | non | oui | non | oui | non |
| 455 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
267 → 2 + 6 + 7 = 15 4 920 → 4 + 9 + 2 + 0 = 15 3 388 → 3 + 3 + 8 + 8 = 22
6 831 → 6 + 8 + 3 + 1 = 18 455 → 4 + 5 + 5 = 14
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 1 + 2 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3
Une seule solution : 120.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 111 est un multiple de 4. » Faux. 111 = 4 × 27 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 56 − 3 × 2 = 56 − 6 = 50
B = 6 × 2 − 2 × 5 = 12 − 10 = 2
C = (7 × 8 − 4) ÷ 4 = (56 − 4) ÷ 4 = 52 ÷ 4 = 13
D = 3,7 + 3 × 0,5 = 3,7 + 1,5 = 5,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 7 × 6) × 4 = (3 + 42) × 4 = 45 × 4 = 180
5 × (6 + 3) − 4 = 5 × 9 − 4 = 45 − 4 = 41
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 × 11 = 45 × (10 + 1) = 45 × 10 + 45 × 1 = 450 + 45 = 495
F = 4,5 × 0,7 + 4,5 × 0,3 = 4,5 × (0,7 + 0,3) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 4 × 83 × 25 = 4 × 25 × 83 = 100 × 83 = 8 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 9 × 9 = 9² 1,5 × 1,5 = 1,5²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 5² = 10 » Faux. 5² = 5 × 5 = 25. L'exposant ne multiplie pas : 5 × 2 = 10, c'est le double.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²)
81 = 9² : carré 116 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 116 < 121 = 11²)
120 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 120 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 3 = 4 × 36 − 3 = 144 − 3 = 141
B = (4 × 6)² − 3 = 24² − 3 = 576 − 3 = 573
C = 7² + 4² = 49 + 16 = 65
D = (7 + 4)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 3 : x² + 18 = 3² + 18 = 9 + 18 = 27 et 9x = 9 × 3 = 27.
27 = 27 : l'égalité est vraie pour x = 3.
Pour x = 4 : x² + 18 = 4² + 18 = 16 + 18 = 34 et 9x = 9 × 4 = 36.
34 ≠ 36 : l'égalité est fausse pour x = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 6, et seulement pour 3 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 37 et 100. » → encore 62 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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