Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 4² − 7 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 4 et 7.
D = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
E = 9² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 239 = 956 ≤ 959 < 960 = 4 × 240 : le quotient est 239, le reste 959 − 956 = 3.
959 = 4 × 239 + 3, avec 3 < 4.
13 × 96 = 1 248 ≤ 1 253 < 1 261 = 13 × 97 : le quotient est 96, le reste 1 253 − 1 248 = 5.
1 253 = 13 × 96 + 5, avec 5 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 405 = 13 × 32 − 11 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 405 = 13 × 30 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 405 = 13 × 31 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 31, reste 2.
Comme 2 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 405 par 31 : quotient 13, reste 2.
3. 258 = 30 × 8 + 18
En 8 soirs, elle lit 240 pages ; il lui en reste encore 18.
a) Il lui faut 8 + 1 = 9 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 18 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 2 223 | non | oui | non | oui | non |
| 875 | non | non | oui | non | non |
| 8 948 | oui | non | non | non | non |
| 2 720 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
897 → 8 + 9 + 7 = 24 2 223 → 2 + 2 + 2 + 3 = 9 875 → 8 + 7 + 5 = 20
8 948 → 8 + 9 + 4 + 8 = 29 2 720 → 2 + 7 + 2 + 0 = 11
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 0 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 705.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 16 est pair mais 16 = 3 × 5 + 1.
« 5 est un diviseur de 110. » Vrai. 110 = 5 × 22 : le reste de la division de 110 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 48 − 10 + 8 = 38 + 8 = 46
B = 14 + 25 ÷ 5 × 2 = 14 + 5 × 2 = 14 + 10 = 24
C = 91 − 5 × (18 − 6) = 91 − 5 × 12 = 91 − 60 = 31
D = [4 + 7 × (7 − 5)] ÷ 2 = [4 + 7 × 2] ÷ 2 = [4 + 14] ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (5 − 2) − 9 = 8 × 3 − 9 = 24 − 9 = 15
2 × 4 − (3 + 4) = 2 × 4 − 7 = 8 − 7 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2,7 × 0,4 + 2,7 × 0,6 = 2,7 × (0,4 + 0,6) = 2,7 × 1 = 2,7
F = 42 × 11 = 42 × (10 + 1) = 42 × 10 + 42 × 1 = 420 + 42 = 462
G = 54 + 0,75 + 46 = 54 + 46 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 0,7 × 0,7 = 0,7² 4 × 4 × 4 = 4³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « (1 + 5)² = 1² + 5² » Faux. (1 + 5)² = 6² = 36, alors que 1² + 5² = 1 + 25 = 26.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 86 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 86 < 100 = 10²)
92 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 92 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
125 = 5³ : cube 133 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 133 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 7 = 4 × 36 − 7 = 144 − 7 = 137
B = (4 × 6)² − 7 = 24² − 7 = 576 − 7 = 569
C = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
D = (1 + 4)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 3 : x² + 15 = 3² + 15 = 9 + 15 = 24 et 8x = 8 × 3 = 24.
24 = 24 : l'égalité est vraie pour x = 3.
Pour x = 2 : x² + 15 = 2² + 15 = 4 + 15 = 19 et 8x = 8 × 2 = 16.
19 ≠ 16 : l'égalité est fausse pour x = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 3 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 164 et 208. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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