Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (13 + 7) × 5 = 20 × 5 = 100
B = 13 + 7 × 5 = 13 + 35 = 48
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
D = 11 + 24 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 11 et du quotient de 24 par 4.
E = 22 − 3 × 4 est une différence : c'est la différence entre 22 et le produit de 3 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 85 = 680 ≤ 684 < 688 = 8 × 86 : le quotient est 85, le reste 684 − 680 = 4.
684 = 8 × 85 + 4, avec 4 < 8.
17 × 28 = 476 ≤ 485 < 493 = 17 × 29 : le quotient est 28, le reste 485 − 476 = 9.
485 = 17 × 28 + 9, avec 9 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 253 = 10 × 25 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 10. ✔
(b) 253 = 10 × 26 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 253 = 10 × 24 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 25, reste 3.
Comme 3 < 25 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 253 par 25 : quotient 10, reste 3.
3. 243 = 12 × 20 + 3, avec 3 < 12
a) Elle remplit 20 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 970 | oui | non | oui | non | oui |
| 1 772 | oui | non | non | non | non |
| 357 | non | oui | non | non | non |
| 8 721 | non | oui | non | oui | non |
| 595 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
4 970 → 4 + 9 + 7 + 0 = 20 1 772 → 1 + 7 + 7 + 2 = 17 357 → 3 + 5 + 7 = 15
8 721 → 8 + 7 + 2 + 1 = 18 595 → 5 + 9 + 5 = 19
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 1 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 810.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 21 est divisible par 3 (21 = 3 × 7) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 4 est un diviseur de 48. » Vrai. 48 = 4 × 12 : le reste de la division de 48 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 71 − 2 × 9 = 71 − 18 = 53
B = 15 ÷ 5 × 3 = 3 × 3 = 9
C = 95 − 4 × (18 − 2) = 95 − 4 × 16 = 95 − 64 = 31
D = 7,4 + 2 × 0,5 = 7,4 + 1 = 8,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (7 + 6) × 2 = 2 × 13 × 2 = 26 × 2 = 52
(3 + 5 + 4) × 3 = (8 + 4) × 3 = 12 × 3 = 36
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
F = 39 × 11 = 39 × (10 + 1) = 39 × 10 + 39 × 1 = 390 + 39 = 429
G = 5 × 82 × 20 = 5 × 20 × 82 = 100 × 82 = 8 200
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 = 6²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
36 = 6² : carré 104 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 104 < 121 = 11²)
149 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 149 < 169 = 13²) 150 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 150 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 6 = 5 × 25 − 6 = 125 − 6 = 119
B = (5 × 5)² − 6 = 25² − 6 = 625 − 6 = 619
C = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
D = (2 + 4)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 4 = 2 × 3² − 4 = 2 × 9 − 4 = 18 − 4 = 14
B = (2x)² − 4 = (2 × 3)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 7 petits cubes sur 7 : 7² = 7 × 7 = 49.
a) On voit 49 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 7 couches de 49 petits cubes : 7³ = 7 × 7 × 7 = 343.
b) Il a utilisé 343 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 7 − 2 = 5 petits cubes d'arête. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
c) 125 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 11 et 32. » → encore 20 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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