Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (3 + 3) × 5 = 6 × 5 = 30
B = 3 + 3 × 5 = 3 + 15 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (6 + 3) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 6 et 3 par 2.
D = (3 + 6) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 3 et 6 par 3.
E = 6² − 23 est une différence : c'est la différence entre le carré de 6 et 23.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 150 = 750 ≤ 754 < 755 = 5 × 151 : le quotient est 150, le reste 754 − 750 = 4.
754 = 5 × 150 + 4, avec 4 < 5.
13 × 140 = 1 820 ≤ 1 824 < 1 833 = 13 × 141 : le quotient est 140, le reste 1 824 − 1 820 = 4.
1 824 = 13 × 140 + 4, avec 4 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 280 = 9 × 31 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 280 = 9 × 32 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 280 = 9 × 30 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 31, reste 1.
Comme 1 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 280 par 31 : quotient 9, reste 1.
3. 245 = 18 × 13 + 11
En 13 soirs, elle lit 234 pages ; il lui en reste encore 11.
a) Il lui faut 13 + 1 = 14 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 11 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 500 | oui | oui | oui | non | oui |
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 7 492 | oui | non | non | non | non |
| 3 519 | non | oui | non | oui | non |
| 385 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
7 500 → 7 + 5 + 0 + 0 = 12 141 → 1 + 4 + 1 = 6 7 492 → 7 + 4 + 9 + 2 = 22
3 519 → 3 + 5 + 1 + 9 = 18 385 → 3 + 8 + 5 = 16
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 5 + 2 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 8 : 15
2 solutions : 522, 528.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 48 est divisible par 3 (48 = 3 × 16) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 84 est un multiple de 3. » Vrai. 84 = 3 × 28 : le reste de la division de 84 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 41 − 10 + 11 = 31 + 11 = 42
B = 3 + 14 ÷ 2 × 3 = 3 + 7 × 3 = 3 + 21 = 24
C = (4 + 10) × 6 − 12 = 14 × 6 − 12 = 84 − 12 = 72
D = 9,7 + 4 × 2,5 = 9,7 + 10 = 19,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + (3 + 3) × 3 = 9 + 6 × 3 = 9 + 18 = 27
4 × (9 + 3) − 3 = 4 × 12 − 3 = 48 − 3 = 45
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 59 × 50 = 2 × 50 × 59 = 100 × 59 = 5 900
F = 41 × 11 = 41 × (10 + 1) = 41 × 10 + 41 × 1 = 410 + 41 = 451
G = 19 × 75 + 19 × 25 = 19 × (75 + 25) = 19 × 100 = 1 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 3 × 3 × 3 = 3³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
70 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 70 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
98 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 98 < 100 = 10²) 131 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 131 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 3 = 4 × 4 − 3 = 16 − 3 = 13
B = (4 × 2)² − 3 = 8² − 3 = 64 − 3 = 61
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 6 = 4 × 4² − 6 = 4 × 16 − 6 = 64 − 6 = 58
B = (4x)² − 6 = (4 × 4)² − 6 = 16² − 6 = 256 − 6 = 250
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 158 et 217. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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