Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 14 + 6 × 6 est une somme : c'est la somme de 14 et du produit de 6 par 6.
D = (9 + 4) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 9 et 4 par 7.
E = (68 + 4) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 68 et 4 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 132 = 924 ≤ 928 < 931 = 7 × 133 : le quotient est 132, le reste 928 − 924 = 4.
928 = 7 × 132 + 4, avec 4 < 7.
19 × 65 = 1 235 ≤ 1 242 < 1 254 = 19 × 66 : le quotient est 65, le reste 1 242 − 1 235 = 7.
1 242 = 19 × 65 + 7, avec 7 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 51 = 6 × 7 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 51 = 6 × 8 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 51 = 6 × 9 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 8, reste 3.
Comme 3 < 8 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 51 par 8 : quotient 6, reste 3.
3. 26 = 8 × 3 + 2
3 minibus pleins transportent 24 élèves ; il en reste 2 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 2 = 6 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 815 | non | non | oui | non | non |
| 7 090 | oui | non | oui | non | oui |
| 8 559 | non | oui | non | oui | non |
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 5 396 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
815 → 8 + 1 + 5 = 14 7 090 → 7 + 0 + 9 + 0 = 16 8 559 → 8 + 5 + 5 + 9 = 27
627 → 6 + 2 + 7 = 15 5 396 → 5 + 3 + 9 + 6 = 23
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 5 + 2 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 525.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 114 est un multiple de 6. » Vrai. 114 = 6 × 19 : le reste de la division de 114 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 30 − 15 + 11 = 15 + 11 = 26
B = 21 ÷ 7 × 5 = 3 × 5 = 15
C = (5 + 6) × 5 − 8 = 11 × 5 − 8 = 55 − 8 = 47
D = 5 × [23 − (9 + 7)] = 5 × [23 − 16] = 5 × 7 = 35
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 + 2 + 4) × 9 = (8 + 4) × 9 = 12 × 9 = 108
3 × (7 × 6 − 7) = 3 × (42 − 7) = 3 × 35 = 105
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12 × 101 = 12 × (100 + 1) = 12 × 100 + 12 × 1 = 1 200 + 12 = 1 212
F = 2,7 × 1,3 + 2,7 × 8,7 = 2,7 × (1,3 + 8,7) = 2,7 × 10 = 27
G = 2 × 74 × 50 = 2 × 50 × 74 = 100 × 74 = 7 400
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (5 + 2)² = 5² + 2² » Faux. (5 + 2)² = 7² = 49, alors que 5² + 2² = 25 + 4 = 29.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 54 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 54 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 67 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 67 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 5 = 3 × 16 − 5 = 48 − 5 = 43
B = (3 × 4)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
C = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
D = (4 + 1)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 4 : 2n² = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Pour n = 0,5 : 2n² = 2 × 0,5² = 2 × 0,25 = 0,5
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 152 et 200. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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