Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (3 + 2)² = 5² = 25
B = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 1² + 2² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 2.
D = (1 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 4.
E = (3 + 3) × 9 est un produit : c'est le produit de la somme de 3 et 3 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 40 = 320 ≤ 326 < 328 = 8 × 41 : le quotient est 40, le reste 326 − 320 = 6.
326 = 8 × 40 + 6, avec 6 < 8.
13 × 46 = 598 ≤ 599 < 611 = 13 × 47 : le quotient est 46, le reste 599 − 598 = 1.
599 = 13 × 46 + 1, avec 1 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 108 = 11 × 8 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 108 = 11 × 10 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 108 = 11 × 9 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 9, reste 9.
3. 261 = 20 × 13 + 1
En 13 soirs, elle lit 260 pages ; il lui en reste encore 1.
a) Il lui faut 13 + 1 = 14 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 1 page.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 2 313 | non | oui | non | oui | non |
| 865 | non | non | oui | non | non |
| 3 308 | oui | non | non | non | non |
| 1 930 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
537 → 5 + 3 + 7 = 15 2 313 → 2 + 3 + 1 + 3 = 9 865 → 8 + 6 + 5 = 19
3 308 → 3 + 3 + 0 + 8 = 14 1 930 → 1 + 9 + 3 + 0 = 13
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 5 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 15 ; □ = 4 : 18 ; □ = 7 : 21
3 solutions : 915, 945, 975.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 40 est pair mais 40 = 3 × 13 + 1.
« 79 est un multiple de 4. » Faux. 79 = 4 × 19 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 9 + 6 × 8 = 9 + 48 = 57
B = 6 ÷ 3 × 4 = 2 × 4 = 8
C = (9 + 6) × 2 − 10 = 15 × 2 − 10 = 30 − 10 = 20
D = [4 + 5 × (8 − 4)] ÷ 2 = [4 + 5 × 4] ÷ 2 = [4 + 20] ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 + 9 − (3 + 6) = 7 + 9 − 9 = 16 − 9 = 7
7 × (4 + 8) + 9 = 7 × 12 + 9 = 84 + 9 = 93
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2,7 × 0,8 + 2,7 × 0,2 = 2,7 × (0,8 + 0,2) = 2,7 × 1 = 2,7
F = 8 × 64 × 125 = 8 × 125 × 64 = 1 000 × 64 = 64 000
G = 28 × 11 = 28 × (10 + 1) = 28 × 10 + 28 × 1 = 280 + 28 = 308
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 3 × 3 × 3 = 3³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 96 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 96 < 100 = 10²)
120 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 120 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 8 = 5 × 36 − 8 = 180 − 8 = 172
B = (5 × 6)² − 8 = 30² − 8 = 900 − 8 = 892
C = 1² + 5² = 1 + 25 = 26
D = (1 + 5)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 1 : n² + 5 = 1² + 5 = 1 + 5 = 6 et 6n = 6 × 1 = 6.
6 = 6 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Pour n = 8 : n² + 5 = 8² + 5 = 64 + 5 = 69 et 6n = 6 × 8 = 48.
69 ≠ 48 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 1 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
3 × 5 = 15
a) Il faut 15 carreaux le long d'un côté.
15 rangées de 15 carreaux : 15² = 15 × 15 = 225
b) Il faut 225 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 60 et 113. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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