Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (23 − 4) × 5 = 19 × 5 = 95
B = 23 − 4 × 5 = 23 − 20 = 3
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 10) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 2 et 10 par 3.
D = 2 + 12 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 2 et du quotient de 12 par 4.
E = 7 × (21 − 12) est un produit : c'est le produit de 7 par la différence entre 21 et 12.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 146 = 876 ≤ 881 < 882 = 6 × 147 : le quotient est 146, le reste 881 − 876 = 5.
881 = 6 × 146 + 5, avec 5 < 6.
22 × 61 = 1 342 ≤ 1 344 < 1 364 = 22 × 62 : le quotient est 61, le reste 1 344 − 1 342 = 2.
1 344 = 22 × 61 + 2, avec 2 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 166 = 8 × 21 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 166 = 8 × 19 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 166 = 8 × 20 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 20, reste 6.
Comme 6 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 166 par 20 : quotient 8, reste 6.
3. 93 = 16 × 5 + 13
5 minibus pleins transportent 80 élèves ; il en reste 13 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 13 = 3 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 887 | non | oui | non | oui | non |
| 745 | non | non | oui | non | non |
| 9 266 | oui | non | non | non | non |
| 4 850 | oui | non | oui | non | oui |
| 381 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
4 887 → 4 + 8 + 8 + 7 = 27 745 → 7 + 4 + 5 = 16 9 266 → 9 + 2 + 6 + 6 = 23
4 850 → 4 + 8 + 5 + 0 = 17 381 → 3 + 8 + 1 = 12
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 0 + □ = 1 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 3 ; □ = 8 : 9
2 solutions : 102, 108.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 22 est pair mais 22 = 3 × 7 + 1.
« 227 est un multiple de 9. » Faux. 227 = 9 × 25 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 12 + 5 × 5 = 12 + 25 = 37
B = 12 + 63 ÷ 7 × 4 = 12 + 9 × 4 = 12 + 36 = 48
C = 82 − 4 × (10 − 7) = 82 − 4 × 3 = 82 − 12 = 70
D = 5 × [30 − (5 + 5)] = 5 × [30 − 10] = 5 × 20 = 100
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (9 + 8) − 4 = 3 × 17 − 4 = 51 − 4 = 47
(8 × 2 − 4) × 3 = (16 − 4) × 3 = 12 × 3 = 36
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 40 × 11 = 40 × (10 + 1) = 40 × 10 + 40 × 1 = 400 + 40 = 440
F = 4,5 × 0,25 + 4,5 × 0,75 = 4,5 × (0,25 + 0,75) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 15 + 0,75 + 85 = 15 + 85 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 4 × 4 × 4 = 4³ 7 × 7 = 7²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 3 × 4² = 12² » Faux. 3 × 4² = 3 × 16 = 48, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 84 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 84 < 100 = 10²)
94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 2 = 3 × 9 − 2 = 27 − 2 = 25
B = (3 × 3)² − 2 = 9² − 2 = 81 − 2 = 79
C = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
D = (7 + 6)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 3 : (a + 2)² = (3 + 2)² = 5² = 25
Pour a = 0,5 : (a + 2)² = (0,5 + 2)² = 2,5² = 6,25
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 5² = π × 25 = 25π
a) L'aire exacte est 25π m².
25 × 3,14 = 78,5
b) L'aire vaut environ 79 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 5², et non (π × 5)². On élève 5 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 167 et 223. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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