Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
B = (5 + 1)² = 6² = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
D = (3 + 9) ÷ 2 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 3 et 9 par 2.
E = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 127 = 762 ≤ 767 < 768 = 6 × 128 : le quotient est 127, le reste 767 − 762 = 5.
767 = 6 × 127 + 5, avec 5 < 6.
21 × 49 = 1 029 ≤ 1 047 < 1 050 = 21 × 50 : le quotient est 49, le reste 1 047 − 1 029 = 18.
1 047 = 21 × 49 + 18, avec 18 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 204 = 14 × 15 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 204 = 14 × 14 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 14. ✔
(c) 204 = 14 × 13 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 14, reste 8.
Comme 8 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 204 par 14 : quotient 14, reste 8.
3. 224 = 6 × 37 + 2, avec 2 < 6
a) Elle remplit 37 boîtes pleines.
b) Il reste 2 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 7 522 | oui | non | non | non | non |
| 715 | non | non | oui | non | non |
| 3 050 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 699 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
777 → 7 + 7 + 7 = 21 7 522 → 7 + 5 + 2 + 2 = 16 715 → 7 + 1 + 5 = 13
3 050 → 3 + 0 + 5 + 0 = 8 3 699 → 3 + 6 + 9 + 9 = 27
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 1 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 6 : 15
2 solutions : 810, 816.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 8 est un diviseur de 167. » Faux. 167 = 8 × 20 + 7 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 + 9 × 9 = 24 + 81 = 105
B = 8 × 7 − 3 × 2 = 56 − 6 = 50
C = (11 + 10) × 4 − 11 = 21 × 4 − 11 = 84 − 11 = 73
D = 6,6 + 6 × 2,5 = 6,6 + 15 = 21,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 + (8 + 7) × 3 = 7 + 15 × 3 = 7 + 45 = 52
8 − (3 + 5 − 2) = 8 − (8 − 2) = 8 − 6 = 2
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 33 × 68 − 33 × 58 = 33 × (68 − 58) = 33 × 10 = 330
F = 38 × 11 = 38 × (10 + 1) = 38 × 10 + 38 × 1 = 380 + 38 = 418
G = 52 + 0,75 + 48 = 52 + 48 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 3 × 3 × 3 = 3³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2 × 5² = 10² » Faux. 2 × 5² = 2 × 25 = 50, alors que 10² = 100. Le carré ne porte que sur 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 26 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 26 < 36 = 6²)
100 = 10² : carré 104 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 104 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 136 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 136 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 2 = 4 × 9 − 2 = 36 − 2 = 34
B = (4 × 3)² − 2 = 12² − 2 = 144 − 2 = 142
C = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
D = (1 + 6)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 3 = 2 × 2² − 3 = 2 × 4 − 3 = 8 − 3 = 5
B = (2x)² − 3 = (2 × 2)² − 3 = 4² − 3 = 16 − 3 = 13
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144 : 12 × 12 = 144, c'est-à-dire 12² = 144.
a) Le côté mesure 12 m.
4 × 12 = 48
b) Le périmètre est de 48 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 43 et 94. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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