Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (6 + 8) × 9 = 14 × 9 = 126
B = 6 + 8 × 9 = 6 + 72 = 78
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (9 + 6) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 9 et 6 par 8.
D = 18 + 63 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 18 et du quotient de 63 par 7.
E = (16 + 20) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 16 et 20 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 78 = 624 ≤ 625 < 632 = 8 × 79 : le quotient est 78, le reste 625 − 624 = 1.
625 = 8 × 78 + 1, avec 1 < 8.
26 × 78 = 2 028 ≤ 2 050 < 2 054 = 26 × 79 : le quotient est 78, le reste 2 050 − 2 028 = 22.
2 050 = 26 × 78 + 22, avec 22 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 108 = 7 × 14 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 108 = 7 × 16 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 108 = 7 × 15 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 7. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 15, reste 3.
Comme 3 < 15 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 108 par 15 : quotient 7, reste 3.
3. 108 = 7 × 15 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 15 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 651 | non | oui | non | non | non |
| 5 193 | non | oui | non | oui | non |
| 485 | non | non | oui | non | non |
| 2 072 | oui | non | non | non | non |
| 8 320 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
651 → 6 + 5 + 1 = 12 5 193 → 5 + 1 + 9 + 3 = 18 485 → 4 + 8 + 5 = 17
2 072 → 2 + 0 + 7 + 2 = 11 8 320 → 8 + 3 + 2 + 0 = 13
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 4 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 6 : 18
Une seule solution : 864.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 23 se termine par 3, mais 23 = 3 × 7 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 180 est un multiple de 6. » Vrai. 180 = 6 × 30 : le reste de la division de 180 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 15 + 6 × 8 = 15 + 48 = 63
B = 6 ÷ 2 × 2 = 3 × 2 = 6
C = (3 × 5 − 7) ÷ 2 = (15 − 7) ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4
D = [7 + 3 × (10 − 2)] ÷ 5 = [7 + 3 × 8] ÷ 5 = [7 + 24] ÷ 5 = 31 ÷ 5 = 6,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × 2 − (4 − 2) = 8 × 2 − 2 = 16 − 2 = 14
5 × (7 + 5 − 9) = 5 × (12 − 9) = 5 × 3 = 15
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 80 + 42 × 20 = 42 × (80 + 20) = 42 × 100 = 4 200
F = 27 × 99 = 27 × (100 − 1) = 27 × 100 − 27 × 1 = 2 700 − 27 = 2 673
G = 77 + 3,45 + 23 = 77 + 23 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 2 × 2 × 2 = 2³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 81 = 9² : carré
99 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 99 < 100 = 10²) 103 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 103 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 141 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 141 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 6 = 5 × 4 − 6 = 20 − 6 = 14
B = (5 × 2)² − 6 = 10² − 6 = 100 − 6 = 94
C = 6² + 2² = 36 + 4 = 40
D = (6 + 2)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 6 : 2a³ = 2 × 6³ = 2 × 216 = 432
Pour a = 10 : 2a³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 58 et 113. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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